Gaussin–Jordanin eliminointimenetelmä

Abstract

Tässä tutkielmassa perehdytään Gaussin–Jordanin eliminointimenetelmään. Menetelmä on hyödyllinen työväline lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemiseen ja ratkaisujen lukumäärän selvittämiseen. Tarkoituksena on muuntaa lineaarinen yhtälöryhmä sitä vastaavaksi kokonaismatriisiksi, jonka jälkeen tätä matriisia käsitellään määriteltyjen rivioperaatioiden mukaisesti. Perimmäinen tavoite on saada matriisi sellaiseen muotoon, että lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisut ovat luettavissa matriisin riveiltä. Eliminointimenetelmä on luonteeltaan hyvin mekaaninen ja nykyisin laajasti koneistettu metodi. Teoreettiselta osuudeltaan tutkielma ei ole kovin haastava ja eliminointimenetelmää käytettäessä laskuoperaatiot pysyvät maltillisina.

Rakenteeltaan tutkielma jakautuu kahteen käsittelylukuun johdannon lisäksi. Molemmissa käsittelyluvuissa on alilukuja, jotka sisältävät tärkeitä esitietoja tai välituloksia varsinaiselle aiheelle. Luvussa 2 keskitytään ensin lineaarisiin yhtälöryhmiin, sillä ne ovat kriittisessä asemassa matriisiesityksen kannalta. Siitä luonnollisesti jatkuen esitellään lineaaristen yhtälöryhmien matriisiesitys ja määritellään kerroinmatriisi. Lopuksi käydään läpi lineaaristen yhtälöryhmien käsittelyoperaatioita, joita seuraa kokonaismatriisin määritelmä ja sen käsittelyyn soveltuvat rivioperaatiot.

Luvussa 3 aletaan käsittelemään Gaussin–Jordanin eliminointimenetelmää. Aluksi määritellään riviporrasmuoto ja todetaan, miten se liittyy termiin Gaussin eliminointi. Sitten määritellään redusoitu riviporrasmuoto, jonka jälkeen saadaan käytyä läpi kokonaisuudessaan esimerkki Gaussin–Jordanin eliminointimenetelmästä. Viimeisenä aiheena selvitetään, miten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisujen lukumäärä riippuu Gaussin–Jordanin eliminointimenetelmästä. Havainnollistamisen vuoksi tutkielmaan on sisällytetty muutama kuvaaja, joista käy ilmi eri ratkaisujen lukumäärien geometrinen esitys. Tutkielmassa ei perehdytä Gaussin–Jordanin eliminointimenetelmän muihin sovelluksiin, joita on lineaarialgebran alalla merkittävästi.