Funktion ääriarvot ja Hessen matriisi

Abstract

Tässä tutkielmassa käsitellään yhden ja usean muuttujan funktioiden ääriarvoja sekä niiden ominaisuuksia. Esitetään eri menetelmiä, joiden avulla voidaan löytää funktion ääriarvot ja tutkia niiden luonnetta. Tutkielman luvussa 2 käydään läpi määritelmiä, lauseita todistuksineen sekä esimerkkejä yhden reaalimuuttujan funktioiden paikallisille sekä globaaleille ääriarvoille. Alaluvussa 2.1 annetaan määritelmät funktion paikallisille ääriarvoille sekä funktion kriittiselle pisteelle, jonka avulla esitetään, minkälaisissa pisteissä funktiolla voi esiintyä ääriarvoja. Esitetään myös lauseet ensimmäisen kertaluvun derivaatan testille ja toisen kertaluvun derivaatan testille, joiden avulla muun muassa voidaan määrittää funktion paikalliset ääriarvot. Esitetään lisäksi esimerkkejä alaluvussa annetuille määritelmille ja lauseille. Alaluvussa 2.2 annetaan määritelmät päätepisteiden ääriarvoille sekä globaaleille ääriarvoille ja esitetään niitä tukevia esimerkkejä. Alaluvussa 2.3 esitetään lause yhden muuttujan funktion ääriarvojen olemassaololle avoimilla väleillä, todistetaan se ja annetaan lausetta havainnollistava esimerkki. Ääriarvojen olemassaolon lauseen yhteydessä hyödynnetään raja-arvon käsitettä sekä yhden muuttujan funktion globaalin ääriarvon määritelmää. Luvussa 3 käydään läpi määritelmiä ja lauseita usean reaalimuuttujan funktioiden paikallisille ja globaaleille ääriarvoille sekä esitetään määritelmä Hessen matriisille. Esitetään käsitteitä tukevia esimerkkejä, mutta rajoitetaan usean muuttujan funktioiden käsittely esimerkeissä ainoastaan kahden muuttujan funktioihin yksinkertaisuuden takia. Hyödynnetään usean muuttujan funktioiden ääriarvojen tutkinnassa funktion gradienttia ja osittaisderivaattoja. Alaluvussa 2.1 annetaan määritelmät usean muuttujan funktioiden paikallisille ja globaaleille ääriarvoille sekä rajoitetulle joukolle. Esitetään lisäksi lause ääriarvokohdille, usean muuttujan funktion toisen kertaluvun derivaatan testin lause ja ääriarvolause. Toisen kertaluvun derivaatan testin avulla voidaan määrittää funktion mahdolliset paikalliset ääriarvot ja satulapisteet. Esitetään myös niitä havainnollistavia esimerkkejä ja todistuksia lauseille. Alaluvussa 3.2 esitetään lause Hessen matriisille ja toisen kertaluvun derivaatan testi Hessen muodolle. Lopuksi esitetään esimerkki havainnollistamaan Hessen matriisia, jossa hyödynnetään toisen kertaluvun derivaatan testiä sekä matriisilaskennan determinantin määritelmää 2×2 -matriisille. Esitetään myös esimerkkiin liittyvä kuvaaja, jolla havainnollistetaan ääriarvopisteiden tutkimista.