Singulaarista homologiaa
Virta, Aleksi (2021)
2021
Matematiikan maisteriohjelma - Master´s Programme in Mathematics
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2021-10-21
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202110067438
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202110067438
Tiivistelmä
Tämä tutkielma käsittelee algebrallista topologiaa ja erityisesti singulaarista homologiaa. Tavoitteena on tutkia topologisia avaruuksia ja niiden ominaisuuksia algebran avulla, mikä tapahtuu tässä tutkielmassa singulaarisen homologian keinoin.
Alussa esitellään tutkielman kannalta keskeiset kategoriateorian käsitteet, sekä homologia algebrallisessa mielessä. Tutkitaan komplekseja ja erityisesti eksakteja jonoja sekä myös ketjukuvauksia ja niiden välistä ketjuhomotopiaa.
Toisessa luvussa siirrytään algebralliseen topologiaan ja esitellään muun muassa simpleksin käsite, sekä muita tarpeellisia topologisia määritelmiä ja ominaisuuksia. Tutkitaan topologisen avaruuden singulaarista kompleksia, ja osoitetaan singulaarisen homologian funktoriaalisuus. Singulaarisen homologian alaotsikoina tarkastellaan parin homologiaa sekä redusoitua homologiaa. Esitellään ja todistetaan homotopia-aksiooma.
Lopuksi tutkitaan simpleksien barysentristä jakoa. Tässä yhteydessä tarkastellaan myös lineaarisia ja pieniä ketjuja, sekä todistetaan pienten ketjujen homologian ja singulaarisen homologian välinen isomorfia. ohdetaan typistysaksioomat ja Mayer-Vietoris-jono. Lopuksi lasketaan n-pallon singulaariset homologiaryhmät.
Alussa esitellään tutkielman kannalta keskeiset kategoriateorian käsitteet, sekä homologia algebrallisessa mielessä. Tutkitaan komplekseja ja erityisesti eksakteja jonoja sekä myös ketjukuvauksia ja niiden välistä ketjuhomotopiaa.
Toisessa luvussa siirrytään algebralliseen topologiaan ja esitellään muun muassa simpleksin käsite, sekä muita tarpeellisia topologisia määritelmiä ja ominaisuuksia. Tutkitaan topologisen avaruuden singulaarista kompleksia, ja osoitetaan singulaarisen homologian funktoriaalisuus. Singulaarisen homologian alaotsikoina tarkastellaan parin homologiaa sekä redusoitua homologiaa. Esitellään ja todistetaan homotopia-aksiooma.
Lopuksi tutkitaan simpleksien barysentristä jakoa. Tässä yhteydessä tarkastellaan myös lineaarisia ja pieniä ketjuja, sekä todistetaan pienten ketjujen homologian ja singulaarisen homologian välinen isomorfia. ohdetaan typistysaksioomat ja Mayer-Vietoris-jono. Lopuksi lasketaan n-pallon singulaariset homologiaryhmät.