Aritmeettiset funktiot: kuuluisia matemaatikkoja ja keskeisiä käsitteitä

Abstract

Tämän tutkielman aiheena ovat aritmeettiset funktiot. Aritmeettiset funktiot ovat kuvauksia, jotka määritellään positiivisille kokonaisluvuille ja jotka saavat arvoksi kompleksilukuja. Työssä tutustutaan aritmeettisten funktioiden keskeisiin käsitteisiin ja kuuluisiin matemaatikoihin. Aluksi määritellään Dirichlet’n tulo ja multiplikatiivinen funktio. Sen jälkeen esitetään Möbiuksen ja Eulerin funktiot, jotka ovat multiplikatiivisia. Seuraavaksi käsitellään täydellisesti multiplikatiivisia funktioita, joista esimerkkinä on Liouvillen funktio. Tämän jälkeen siirrytään modulaariseen aritmetiikkaan sekä määritellään täydellisen ja supistetun jäännössysteemin käsitteet. Lisäksi esitetään Ramanujanin summakaava. Sen jälkeen osoitetaan tekijäfunktioiden ominaisuuksia ja määritellään täydelliset luvut, Mersennen alkuluvut ja Fermat’n luvut. Lopuksi todistetaan tekijäfunktion keskiarvon kaava. Matemaattisen käsittelyn ohella tutkielmassa tarkastellaan myös teorioiden ja niiden keksijöiden historiaa.