Nuolilogiikasta
Pirhonen, Emilia (2021)
2021
Matematiikan maisteriohjelma - Master´s Programme in Mathematics
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2021-06-24
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202106236027
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202106236027
Tiivistelmä
Tässä tutkielmassa tutustutaan nuolilogiikkaan, joka on modaalilogiikan osa-alue, jossa nuolet eivät ole pelkästään siirtymiä mahdollisten maailmojen välillä, vaan ne ovat itse mahdollisia maailmoja. Nuolilogiikkaa on tutkittu laajasti ja sen tutkimus jakautuu useaan alueeseen, tässä tutkielmassa keskitytään niistä kahteen. Toinen tarkastelusuunta on modaalisen nuolilogiikan laajennus, missä nuoli on itsenäinen kokonaisuus ja toinen on kaksiulotteinen nuolilogiikka, jossa nuoli on järjestetty pari.
Ensiksi työssä käydään läpi hieman nuolilogiikan historiaa ja sen jälkeen tutustutaan nuolilogiikan malliteoriaan, jossa määritellään nuolilogiikalle syntaksi ja semantiikka sekä mallien tasolla tärkeitä peruskäsitteitä. Peruskäsitteisiin sisältyy myös bisimulaatio, joka määritellään ja todistetaan bisimulaatiolause eli että bisimulaatio säilyttää totuuden sekä modaalisessa että kaksiulotteisessa nuolilogiikan mallissa.
Yleisesti mallien tasolla saatuja tuloksia laajennetaan käymällä läpi kaksiulotteisten kehysten malliteoriaa. Sen jälkeen monia malleista saatuja tuloksia laajennetaan koskemaan myös kehyksiä. Tutkituimpia kehyksiä nuolilogiikassa ovat kaksiulotteiset kehykset ja niitä on helppoa havainnollistaa geometrisesti. Työssä lähestytään näitä kaksiulotteisia kehyksiä multigraafien ja graafien kautta ja annetaan havainnollistavia esimerkkejä kaksiulotteisesta nuolilogiikasta. Tutkielman loppupuolella käydään läpi määriteltävyyttä ja siihen liittyen todistetaan vastaavuustuloksia modaaliselle nuolilogiikalle. Kaksiulotteisen nuolilogiikan kaikki kehykset eivät ole sellaisenaan määriteltävissä samoilla kaavoilla kuin modaalisen nuolilogiikan, mutta tietyin lisäehdoin saadaan muodostettua kaavat, joilla kaksiulotteiselle nuolilogiikalle saadaan vastaavuustuloksia.
Lopuksi annetaan vielä nuolilogiikalle aksiomaattinen muotoilu ja todistetaan tämän systeemin luotettavuus. Todistetaan lisäksi täydellisyys modaaliselle nuolilogiikalle ja esitetään myös muutama kaksiulotteisen nuolilogiikan täydellisyystulos.
Ensiksi työssä käydään läpi hieman nuolilogiikan historiaa ja sen jälkeen tutustutaan nuolilogiikan malliteoriaan, jossa määritellään nuolilogiikalle syntaksi ja semantiikka sekä mallien tasolla tärkeitä peruskäsitteitä. Peruskäsitteisiin sisältyy myös bisimulaatio, joka määritellään ja todistetaan bisimulaatiolause eli että bisimulaatio säilyttää totuuden sekä modaalisessa että kaksiulotteisessa nuolilogiikan mallissa.
Yleisesti mallien tasolla saatuja tuloksia laajennetaan käymällä läpi kaksiulotteisten kehysten malliteoriaa. Sen jälkeen monia malleista saatuja tuloksia laajennetaan koskemaan myös kehyksiä. Tutkituimpia kehyksiä nuolilogiikassa ovat kaksiulotteiset kehykset ja niitä on helppoa havainnollistaa geometrisesti. Työssä lähestytään näitä kaksiulotteisia kehyksiä multigraafien ja graafien kautta ja annetaan havainnollistavia esimerkkejä kaksiulotteisesta nuolilogiikasta. Tutkielman loppupuolella käydään läpi määriteltävyyttä ja siihen liittyen todistetaan vastaavuustuloksia modaaliselle nuolilogiikalle. Kaksiulotteisen nuolilogiikan kaikki kehykset eivät ole sellaisenaan määriteltävissä samoilla kaavoilla kuin modaalisen nuolilogiikan, mutta tietyin lisäehdoin saadaan muodostettua kaavat, joilla kaksiulotteiselle nuolilogiikalle saadaan vastaavuustuloksia.
Lopuksi annetaan vielä nuolilogiikalle aksiomaattinen muotoilu ja todistetaan tämän systeemin luotettavuus. Todistetaan lisäksi täydellisyys modaaliselle nuolilogiikalle ja esitetään myös muutama kaksiulotteisen nuolilogiikan täydellisyystulos.