Ryhmät ja symmetria

Abstract

Tässä tutkielmassa käsitellään ryhmiä, symmetriaa sekä niiden välistä suhdetta. Tutkielman pääpaino on aiheen käsitteleminen neljän olemassa olevan isometriatyypin avulla. Tutkielma perustuu kahteen päälähteeseen: Bakerin kirjaan Groups and symmetry ja Rotmanin teokseen A first course in abstract algebra.

Tutkielmassa tarkastellaan ensin ryhmiä ja aliryhmiä sekä niihin liittyviä laskusääntöjä. Ryhmäksi kutsutaan algebrallista rakennetta, jonka avulla voidaan ratkaista erilaisia matemaattisia ongelmia. Ryhmä on joukko, jonka alkiot voidaan liittää yhteen binäärisellä laskutoimituksella siten, että saatu tulos kuuluu edelleen samaan joukkoon. Esimerkiksi kaikki kokonaisluvut muodostavat ryhmän (ℤ, +), jossa yhteenlasku toimii binäärioperaattorina. Aliryhmä puolestaan on ryhmän sisällä oleva joukko, joka toteuttaa aliryhmälle asetetut ehdot.

Ryhmiin tutustumisen jälkeen esitetään, mitä tarkoitetaan isometrialla. Isometria on funktio metrisessä avaruudessa, joka säilyttää kaikkien pisteiden välisen etäisyyden. Erilaisia isometriatyyppejä ovat translaatio, rotaatio, peilaus ja liukuva peilaus. Translaatio ja rotaatio esitetään tarkemmin luvussa 2, peilaus luvussa 3 ja liukuva peilaus luvussa 4.

Kolmannessa luvussa tutustutaan tarkemmin myös symmetriaan ja symmetriaryhmiin, sekä tutkitaan yksikertaisten esimerkkien avulla, miten symmetriaryhmiä voidaan havainnollistaa käyttäen apuna isometrioita. Symmetriaksi kutsutaan isometriaa, joka kuvaa ryhmän itseensä, ja symmetriaryhmäksi kutsutaan näiden kaikkien symmetrioiden muodostamaa ryhmää. Symmetriaryhmiä tarkastellaan esimerkiksi tasasivuisen kolmion symmetrisyyden avulla.

Viimeisessä luvussa esitetään vielä symmetria-aliryhmä, joka yhdistää symmetriaryhmän ja aliryhmän. Sen avulla esitetään lopuksi esimerkki liukuvasta peilauksesta ja sen symmetria-aliryhmästä.