Ehrenfestin teoreema
Ahmadi, Saijad (2021)
Ahmadi, Saijad
2021
Tekniikan ja luonnontieteiden kandidaattiohjelma - Bachelor's Programme in Engineering and Natural Sciences
Tekniikan ja luonnontieteiden tiedekunta - Faculty of Engineering and Natural Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2021-05-24
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202105165034
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202105165034
Tiivistelmä
Tässä työssä tutkitaan Ehrenfestin teoreemaa ja sen fysikaalista merkitystä. Ehrenfestin teoreeman mukaan kvanttimekaniikan operaattorien odotusarvot noudattavat klassisen mekaniikan liikeyhtälöitä. Työssä tarkastellaan yksiulotteisessa avaruudessa ja ajasta riippumattomassa potentiaalissa V=V(x) olevaa hiukkasta. Työn yksi tavoite on selvittää, millä ehdoilla kvanttimekaniikan operaattorien odotusarvot noudattavat klassisen mekaniikan liikeyhtälöitä.
Työ jakautuu neljään osaan. Aluksi luvussa 2 määritellään käsitteitä ja niiden keskinäisiä riippuvuuksia, jonka jälkeen luvussa 3 perehdytään kvanttimekaniikan perusteisiin. Tässä osiossa esitellään kvanttimekaniikan postulaatit, kerrataan klassisen mekaniikan liikeyhtälöt ja tarkastellaan yhden hiukkasen aaltofunktion aikakehitystä yksiulotteisessa avaruudessa ja ajasta riippumattomassa potentiaalissa V=V(x). Lisäksi tässä osiossa esitellään ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön yleinen ratkaisu sekä tarkastellaan stationääristen ja ei-stationääristen tilojen ominaisuuksia.
Seuraavaksi luvussa 4 tarkastelun kohteena on harmoninen värähtelijä. Aloitetaan klassisesta harmonisesta värähtelijästä, jonka jälkeen siirrytään kvanttimekaaniseen harmoniseen värähtelijään. Kvanttimekaanisen harmonisen värähtelijän energian ominaisarvoyhtälöt ja ominaisarvot tullaan ratkaisemaan ajasta riippumattomasta Schrödingerin yhtälöstä käyttämällä Frobeniuksen sarjamenetelmää. Lisäksi tarkastellaan kvanttimekaanisen harmonisen värähtelijän paikan ja liikemäärän odotusarvoja stationaarisille ja ei-stationaarisille tiloille. Nähdään myös, että harmonisen värähtelijän operaattorien odotusarvot noudattavat klassisen mekaniikan liikeyhtälöitä.
Lopuksi luvussa 5 tutustutaan Ehrenfestin teoreemaan. Aluksi tullaan todistamaan Ehrenfestin teoreema lähtemällä liikkeelle ajasta riippumattoman operaattorin odotusarvon aikaderivaatasta. Päädytään siihen tulokseen, että paikka- ja liikemääräoperaatoreiden odotusarvot voidaan liittää toisiinsa. Tämän jälkeen tutkitaan, milloin operaattoreiden odotusarvot noudattavat klassisen mekaniikan liikeyhtälöitä
Työ jakautuu neljään osaan. Aluksi luvussa 2 määritellään käsitteitä ja niiden keskinäisiä riippuvuuksia, jonka jälkeen luvussa 3 perehdytään kvanttimekaniikan perusteisiin. Tässä osiossa esitellään kvanttimekaniikan postulaatit, kerrataan klassisen mekaniikan liikeyhtälöt ja tarkastellaan yhden hiukkasen aaltofunktion aikakehitystä yksiulotteisessa avaruudessa ja ajasta riippumattomassa potentiaalissa V=V(x). Lisäksi tässä osiossa esitellään ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön yleinen ratkaisu sekä tarkastellaan stationääristen ja ei-stationääristen tilojen ominaisuuksia.
Seuraavaksi luvussa 4 tarkastelun kohteena on harmoninen värähtelijä. Aloitetaan klassisesta harmonisesta värähtelijästä, jonka jälkeen siirrytään kvanttimekaaniseen harmoniseen värähtelijään. Kvanttimekaanisen harmonisen värähtelijän energian ominaisarvoyhtälöt ja ominaisarvot tullaan ratkaisemaan ajasta riippumattomasta Schrödingerin yhtälöstä käyttämällä Frobeniuksen sarjamenetelmää. Lisäksi tarkastellaan kvanttimekaanisen harmonisen värähtelijän paikan ja liikemäärän odotusarvoja stationaarisille ja ei-stationaarisille tiloille. Nähdään myös, että harmonisen värähtelijän operaattorien odotusarvot noudattavat klassisen mekaniikan liikeyhtälöitä.
Lopuksi luvussa 5 tutustutaan Ehrenfestin teoreemaan. Aluksi tullaan todistamaan Ehrenfestin teoreema lähtemällä liikkeelle ajasta riippumattoman operaattorin odotusarvon aikaderivaatasta. Päädytään siihen tulokseen, että paikka- ja liikemääräoperaatoreiden odotusarvot voidaan liittää toisiinsa. Tämän jälkeen tutkitaan, milloin operaattoreiden odotusarvot noudattavat klassisen mekaniikan liikeyhtälöitä
Kokoelmat
- Kandidaatintutkielmat [7045]