Kvanttimekaanisia ratkaisuja pehmeässä Sinai-biljardissa

Abstract

Biljardit ovat fysiikassa dynaamisia systeemejä, joissa hiukkanen törmäilee elastisesti tietyn muotoisen alueen reunoista. Sinai-biljardi on kaoottinen systeemi, jossa hiukkasen liikettä rajoittaa neliönmuotoinen ulkoreuna sekä ympyrän muotoinen sisäreuna. Niin sanotussa pehmeässä Sinai-biljardissa keskellä oleva kovareunainen eli elastisesti sirottava ympyrä korvataan pehmeäreunaisella, Fermi-funktion mallisella potentiaalilla. Tässä työssä Fermi-funktion amplitudi valittiin suuremmaksi kuin tutkittavat ominaisenergiat, jotta systeemin faasiavaruus sisältäisi sekä kaoottisia että säännöllisiä ratkaisuja. Tutkielman tavoitteena oli kartoittaa kvalitiivisesti tämän pehmeän Sinai-biljardin kvanttimekaanisten ratkaisujen käyttäytymistä.

Tutkittavan pehmeän Sinai-biljardin aikariippumaton Schrödingerin yhtälö ratkaistiin numeerisesti itp2d-ohjelmalla. Ratkaisuista laskettiin todennäköisyystiheydet, jotka piirretiin tuhannelle alimmalle ominaistilalle. Näistä valittiin perustila, kolme alinta viritystilaa, kaoottisia ominaistiloja ja mahdollisia kvanttiarpia lähempään tarkasteluun. Systeemin käyttäytymistä verrattiin myös rajatapauksiin eli tavanomaiseen Sinai-biljardiin sekä toisaalta säännölliseen neliöbiljardiin. Lähellä perustilaa todennäköisyystiheydet olivat lokalisoituneita muistuttaen kaksiulottisia, systeemin geometrian mukaisia atomiorbitaaleja. Suurilla viritystiloilla todennäköisyystiheys jakautui tasaisesti sallittuun alueeseen. Tämän tulkittiin ilmentävän klassista ergodisuutta, jossa klassisesti kaoottinen liikerata käy lopulta mielivaltaisen lähellä jokaista sallitun alueen pistettä. Joillain ominaistiloilla todennäköisyystiheydet olivat korostuneet klassisen jaksollisen radan ympärille. Nämä korostumat muistuttivat kvanttiarpeutumista. Havaittavissa oli yhtymäkohtia uuteen vuonna 2016 löydettyyn häiriöpohjaiseen kvanttiarpeutumiseen, mutta myöskään tavanomaista vuonna 1984 havaittua kvanttiapeutumista ei voitu poissulkea.