The Geometry of Spacetime and Black Hole Thermodynamics

Abstract

Black hole thermodynamics studies how the fundamental laws of thermodynamics manifest in black holes, the regions of spacetime that are still greatly unknown. In this thesis, the theory starts with the flat Minkowski spacetime and extends through the discussion of curved spacetime to the Einstein field equations (EFE) and their solutions. The rest of the thesis then discusses the properties of different black holes arising as solutions to the EFE, which ultimately result in the inception of the black hole thermodynamics. The goal of the thesis is to find the thermodynamic properties of black holes and serve as a self-contained introduction to general relativity.

The thesis is divided into two parts. First, the tools needed for basic calculations in general relativity are discussed and applied to static spherically symmetric Schwarzschild black holes. The Einstein summation convention and the line element are introduced. The metric tensor, curvature tensors, and their properties are explained and demonstrated with a couple of exercises. The Killing vectors, four-velocity, and proper time are also briefly discussed. The EFE and the Schwarzschild metric are introduced and the properties of Schwarzschild black holes, such as the area of the event horizon and surface gravity, are derived from the metric. The second half of the thesis concentrates on the thermodynamic aspects of Schwarzschild black holes, charged Reissner-Nordström black holes, and rotating Kerr black holes. The temperatures and entropies of each type of black hole are derived from their metrics. Finally, the properties are used to reformulate the laws of thermodynamics to include black holes.

It is shown in the thesis that the surface gravity κ in suitable units is the temperature T of the black hole with the relation T = κ/(2π), which can be obtained by manipulating the Euclidean metric. However, the most important result is that the entropy S of the black hole is proportional to the area A of the event horizon, i.e., S = A/4. It indicates that the information of the black hole is encoded in the area of the event horizon. These two relations are the foundation of the laws of thermodynamics for black holes. The zeroth and third laws state that the surface gravity of a black hole is the same across the event horizon, and the surface gravity cannot be zero. The first law connects the thermodynamic quantities of black holes into one equation. Finally, the generalized second law of thermodynamics states how the total entropy of the universe and black holes can never decrease.

Mustien aukkojen termodynamiikka tutkii, kuinka termodynamiikan lait käyttäytyvät meille vielä hyvin tuntemattomissa mustissa aukoissa. Tämän työn teoriaosuus alkaa litteän Minkowskin aika-avaruuden käsittelystä siirtyen sitten kaarevaan aika-avaruuteen ja käsittelemään Einsteinin kenttäyhtälöitä ja niiden ratkaisuja. Työn jälkimmäisessä osassa perehdytään kenttäyhtälöiden ratkaisujen eli eri metriikoiden synnyttämien mustien aukkojen ominaisuuksiin, joista lopulta päädytään mustien aukkojen termodynamiikkaan. Tämän työn tavoitteena on johtaa mustien aukkojen termodynaamiset ominaisuudet ja toimia itsenäisenä johdantona yleiseen suhteellisuusteoriaan.

Työ jakaantuu kahteen osaan. Ensiksi esitellään yleisessä suhteellisuusteoriassa käytettävät matemaattiset työkalut, joita sovelletaan staattisiin pallosymmetrisiin Schwarzschildin mustiin aukkoihin. Einsteinin summaussääntö ja viivaelementti esitellään. Sen jälkeen tutustutaan metrisen tensorin ja kaarevuustensoreiden ominaisuuksiin sekä niiden käyttämiseen muutaman laskuesimerkin avulla. Lisäksi kerrotaan lyhyesti, mitä tarkoittavat Killingin vektorit, nelinopeus ja itseisaika. Einsteinin kenttäyhtälöt ja Schwarzschildin metriikka esitellään, ja Schwarzschildin mustien aukkojen ominaisuudet, kuten tapahtumahorisontin pinta-ala ja pintagravitaatio, johdetaan metriikkaa hyödyntäen. Työn jälkimmäisessä puoliskossa keskitytään Schwarzschildin, varauksellisten Reissnerin-Nordströmin ja pyörivien Kerrin mustien aukkojen termodynaamisiin ominaisuuksiin. Kunkin lajin mustien aukkojen lämpötilat ja entropiat johdetaan niiden metriikoista. Lopuksi ominaisuuksia käytetään muotoilemaan termodynamiikan pääsäännöt mustille aukoille.

Työssä osoitetaan, että kirjoitettaessa pintagravitaatio κ sopivissa yksiköissä se vastaa mustan aukon lämpötilaa T yhtälön T = κ/(2π) mukaisesti. Ratkaisu saadaan muokkaamalla metriikan euklidista muotoa. Merkittävin tulos johdetaan kuitenkin mustan aukon entropialle S, joka on verrannollinen tapahtumahorisontin pinta-alaan A yhtälön S = A/4 mukaisesti. Tulos viittaa mustan aukon informaation olevan sitoutunut sen tapahtumahorisontin pinta-alaan. Nämä kaksi tulosta ovat perusta mustien aukkojen termodynamiikan pääsäännöille. Nollannen ja kolmannen pääsäännön mukaan mustan aukon pintagravitaatio on sama kaikkialla tapahtumahorisontissa eikä se voi olla nolla. Ensimmäinen pääsääntö yhdistää mustien aukkojen termodynaamiset omi naisuudet yhdeksi yhtälöksi. Lopuksi yleistetyn toisen pääsäännön mukaan maailmankaikkeuden ja mustien aukkojen yhteenlaskettu entropia ei voi koskaan pienentyä.