Pistoolitaistelujen selviytymistodennäköisyydet Markovin ketjuilla

Abstract

Markovin ketju on todennäköisyyslaskennassa käytettävä stokastisen prosessin alalaji. Työssä esitellään Markovin ketjujen teoriaa ja havainnollistetaan sitä laskemalla pistoolitaisteluihin liittyviä todennäköisyyksiä

Työn aluksi esitellään pistoolitaistelutilanne, jossa osallistujat seisovat ringissä ja kukin heistä valitsee yhtäaikaisesti ja sattumanvaraisesti toisten osallistujien joukosta yhden, jota yrittää ampua. Tämä toistuu niin monta kertaa, että osallistujia on jäljellä korkeintaan yksi. Tärkein oletus on, että kaikkien ampujien keskimääräiset osumisprosentit tunnetaan, sillä todennäköisyyksien laskeminen perustuu näihin ampumatarkkuuksiin.

Pistoolitaisteluasetelman esittelyn jälkeen aloitetaan teoriaosuus määrittelemällä lyhyesti stokastinen prosessi ja Markovin ketju sen alalajina, minkä jälkeen käsitellään Markovin ketjuihin liittyviä peruskäsitteitä, kuten tiloja, siirtymätodennäköisyyksiä ja siirtymätodennäköisyysmatriisia. Tarkastelu rajataan diskreetteihin ja homogeenisiin Markovin ketjuihin, ja alan kirjallisuuden avulla johdetaan joitakin tällaisiin ketjuihin liittyviä tunnettuja tuloksia.

Alussa esitelty pistoolitaisteluasetelma ja sen jälkeen käsitelty Markovin ketjujen teoria tuodaan yhteen näyttämällä, kuinka pistoolitaistelua voidaan mallintaa Markovin ketjuna. Tälle ketjulle määritetään tilat, jotka kuvaavat sitä, ketkä kaikki taistelun alkuperäisistä osallistujista ovat vielä hengissä. Tilojen väliset siirtymätodennäköisyydet lasketaan osallistujien ampumatarkkuusprosenttien avulla ja näistä todennäköisyyksistä muodostetaan pistoolitaistelua mallintavan Markovin ketjun siirtymätodennäköisyysmatriisi. Teoriaosuudessa kohdattuja tuloksia havainnollistetaan käyttämällä esimerkkinä kolmen henkilön välistä pistoolitaistelua ja laskemalla tällaisen taistelun lopputulosten todennäköisyyksiä sekä sen keston odotusarvo.

Lopuksi yhteenvedossa tarkastellaan vielä hieman Markovin ketjujen soveltuvuutta tällaisen tilanteen käsittelyyn, arvioidaan oletusten järkevyyttä ja esitetään parannusehdotuksia realistisemman pistoolitaistelumallin luomiseksi. Tärkeimmiksi parannusehdotuksiksi voidaan nostaa homogeenisen sijasta epähomogeenisen Markovin ketjun käyttö, jolloin osallistujien ampumatarkkuuksien voidaan antaa vaihdella ajan funktiona, ja joko diskreetin sijasta jatkuva-aikaisen Markovin ketjun käyttö tai sen salliminen, että osallistuja voi jättää tarkoituksellisesti ampumatta.