CVaR-rajoitteisen portfolio-optimoinnin vakaus

Abstract

Collections of assets or other units involving risks, portfolios, are common in the fields of engineering and finance. Decisions considering portfolios are utility-maximizing and risk-minimizing. In order to make the decisions and optimize the trade-off between these conflicting objectives, both of them must be measured objectively. With financial portfolios, the utility is often measured using an expected return, whereas there are several risk measures presented in the literature. In this thesis, Conditional Value at Risk measure (CVaR), CVaR-based portfolio optimization, and the instability of optimum portfolio are considered. The objectives of this thesis are, by using existing literature, to present the return-CVaR portfolio optimization problem for share portfolio and compare stability-improving methods presented in the literature.

The thesis is organized as follows. In the second chapter, risk measures are introduced by starting with Value at Risk (VaR). Using CVaR over VaR is motivated by discussing the requirements for a risk measure to be coherent. Building on the theory of VaR, pivotal formulations of CVaR are presented. In the third chapter, the return-CVaR portfolio optimization problem is built by reformulating CVaR. The reformulation allows using the optimization shortcut presented in the literature, which makes it possible to present the CVaR problem in a linear form. The third chapter is concluded by obtaining that the return-CVaR portfolio optimization is unstable in practice due to features of CVaR and uncertainty of market data.

In the literature review part, 14 papers presenting stability improving methods are discussed. From this material, three groups of approaches are obtained: methods modifying the original problem, methods for producing scenarios, and methods combining both these approaches. According to the literature review, the methods modifying the original problem are emphasized in the field: especially, the robust optimization method worst-case CVaR (WCVaR) is used in several papers. However, applying WCVaR requires a lot of information on the shape of the uncertainty. Machine learning methods are less demanding on the initial information about the uncertainty, but they are more data-intensive. Methods which only produce scenarios are not as data-intensive, but they don’t take the uncertainty into account. Methods, which both modify the initial model and consider scenario making, take uncertainty into account and allow using data more effectively. Thus, they might be a decent choice for a practitioner in most cases. However, the choice of stability improving method and details in applying it are highly case-dependent, so the literature of the field might gain from research of decision-making models for applying stability improving methods.

Riskillisiä kohteita sisältäviä kokonaisuuksia, portfolioita, esiintyy useissa yhteyksissä esimerkiksi tekniikkaan ja rahoitukseen liittyvissä kysymyksissä. Portfolio-optimoinnissa pyritään kokonaisuudesta saatavan hyödyn maksimoimiseen, samalla altistuen mahdollisimman pienelle riskille. Jotta näiden ristiriitaisten tavoitteiden välillä voidaan saavuttaa optimitila, on niitä molempia pystyttävä mittaamaan objektiivisesti. Osakeportfolioissa hyötyä mitataan usein odotetulla tuotolla, mutta riskin mittaamiseen on useita vaihtoehtoja. Tässä työssä käsitellään conditional value at risk -riskimittaa (CVaR), siihen perustuvaa tuotto-CVaR-portfolio-optimointia, sekä optimoinnin tuottaman optimiportfolion epävakauteen liittyvää haastetta. Tavoitteena on kirjallisuuteen pohjautuen esittää yhden periodin tuotto-CVaR-portfolio-optimointimalli osakeportfoliolle ja vertailla sen vakauttamiseksi esitettyjä menetelmiä.

Työssä edetään riskin mittaamisesta optimointimallin muodostamiseen ja kirjallisuuskatsaukseen vakautta parantavista menetelmistä. Riskin mittaaminen aloitetaan esittelemällä value at risk -mitta (VaR), joka antaa teoreettisen pohjan CVaR-mitan muodostamiselle. Matemaattisessa mielessä johdonmukaiselta, eli koherentilta, riskimitalta vaadittujen ominaisuuksien avulla motivoidaan siirtyminen epäkoherentista VaR:sta koherenttiin CVaR:iin. CVaR-mitta esitetään yleisessä muodossa sekä eräissä tärkeissä erikoistapauksissa. Optimointimallin muodostaminen aloitetaan esittelemällä CVaR:n minimointia yksinkertaistava apufunktio. Apufunktiota minimoimalla saadaan tuotto-CVaR-optimointiongelma esitettyä parametriensa suhteen lineaarisesti. Kirjallisuuteen tukeutuen kuitenkin todetaan, että perusmuotoinen tuotto-CVaR-portfolio-optimointimalli tuottaa käytännössä hyvin epävakaita ratkaisuja sekä riskimitan ominaisuuksista että markkinatietoon liittyvästä epävarmuudesta johtuen.

Tuotto-CVaR-portfolio-optimoinnin vakautta parantavien menetelmien vertailuun valikoitui 14 aihealueen artikkelia. Artikkelit jaoteltiin niissä esitettyjen menetelmien perusteella kolmeen ryhmään: ongelmaa muokkaaviin menetelmiin, skenaarion muodostamista käsitteleviin erillismenetelmiin ja näitä yhdisteleviin yhdistelmämenetelmiin. Katsauksen perusteella aihealueen kirjallisuudessa korostuvat ongelmaa muokkaavat menetelmät ja erityisesti robustin optimoinnin huonoimman tapauksen CVaR -menetelmä (WCVaR). WCVaR:n hyödyntäminen vaatii kuitenkin soveltajalta merkittävän määrän lähtötietoja epävarmuudesta ja sen muodosta. Koneoppimismenetelmät vaativat vähemmän lähtötietoja, mutta niiden soveltaminen suureen portfolioon vaatii paljon dataa. Erillismenetelmät auttavat saatavilla olevan datan tehokkaassa hyödyntämisessä mutta eivät huomioi epävarmuutta. Yhdistelmämenetelmät huomioivat epävarmuuden ja auttavat datan hyödyntämisessä, joten ne saattavat olla soveltajalle hyviä vaihtoehtoja useimmissa tapauksissa. Vakautta parantavien menetelmien valinta ja soveltamisen yksityiskohdat ovat silti vahvasti tilannekohtaisia, joten aihealueen kirjallisuus saattaisi hyötyä vakautta parantavien menetelmien käyttöä ohjaavista päätöksentekomalleista.