Johdatusta lineaaristen systeemien juuriuraan

Abstract

Systeemiteorian alalta löytyy erilaisia tekniikoita, jotka mahdollistavat systeemien stabiiliuden tutkimisen. Yksi tällaisista tekniikoista on juuriuratekniikka, jonka esitteli Walter R. Evans ensimmäistä kertaa vuonna 1948. Juuriuralla tarkoitetaan taajuustason käyräjoukkoa, joka saadaan laskemalla karakteristisen yhtälön juuria muutettaessa systeemin toimintaan vaikuttavan parametrin arvoa. Tässä työssä esitellään juuriuratekniikan keskeisimpiä matemaattisia ominaisuuksia ja tuloksia.

Juuriuran määrittäminen ja sen matemaattisten ominaisuuksien ymmärtäminen vaatii systeemiteorian käsitteiden tuntemista, minkä vuoksi niitä esitellään työn alkuosassa. Yksi keskeinen käsite on systeemin siirtofunktio, joka kuvaa systeemin toimintaa taajuustasossa. Tähän liittyen työssä esitellään Laplace-muunnos systeemin aikatason kuvauksen muuntamiseksi taajuustasoon. Työssä tehtävät tarkastelut rajoittuvat lineaarisiin ajasta riippumattomiin systeemeihin. Systeemejä voidaan jakaa myös sen perusteella, kuinka monta sisäänmenoa ja ulostuloa niissä on. Tämän osalta työn pääpaino on sellaisten systeemien tarkastelussa, joissa on yksi sisäänmeno ja ulostulo.

Työn tavoitteena on selvittää, kuinka juuriuran avulla voidaan tutkia takaisinkytkettyjen systeemien stabiiliutta. Tätä pohjustetaan tutustumalla takaisinkytkennän käsitteeseen ja määrittämällä takaisinkytketyn systeemin siirtofunktio. Juuriura kertoo graafsesti, minne karakteristisen yhtälön juuret sijoittuvat taajuustasossa parametrin arvoa muutettaessa, mikä mahdollistaa kvalitatiivisten havaintojen tekemisen. Juuriuratekniikkaa käyttämällä voidaan tutkia monipuolisesti stabiiliutta, koska sen avulla voi tarkastella systeemin ehdotonta ja suhteellista stabiiliutta. Työn lopussa esitellään käytännön esimerkki juuriuratekniikan käyttämisestä takaisinkytkettyjen systeemien suunnittelussa. Esimerkissä hyödynnetään juuriuraa laivan automaattiohjausjärjestelmän suunnittelemiseen.