Normaalit topologiset avaruudet

Abstract

Eroteltavuus on topologinen ominaisuus, joka ilmaisee, kuinka hyvin yksittäisiä pisteitä tai suljettuja joukkoja voidaan erotella avoimien ympäristöjen avulla. Hausdorff avaruudessa kaksi yksittäistä pistettä, säännöllisessä avaruudessa erillinen piste ja suljettu joukko sekä normaalissa avaruudessa erilliset suljetut joukot voidaan erotella toisistaan erillisten avoimien joukkojen avulla. Näitä ominaisuuksia voidaan vertailla toisiinsa ja voidaankin huomata, että jälkimmäisestä seuraa aina edellinen, mutta toiseen suuntaan tämä ei aina ole voimassa. Urysohnin lemma on tärkeä eroteltavuuteen liittyvä tulos, jonka seurauksia esitellään tämänkin tutkielman sisällä. Lemma kertoo, että normaalissa avaruudessa erilliset suljetut joukot voidaan jatkuvan kuvauksen avulla pakottaa suljetun välin ääripäihin. Suora seuraus lemmasta on Urysohnin metristyslause, joka osoittaa, että jokainen säännöllinen topologinen avaruus, jolla on numeroituva kanta, on metristyvä. Tämä tulos osoitetaan muodostamalla upotus tällaiselta avaruudelta avaruudelle ℝℕ, joka osoitetaan metristyväksi. Voidaan myös osoittaa, että Urysohnin lemma on itse asiassa yhtäpitävä Tietzen jatkolauseen kanssa. Lauseen nimi viittaa siihen, kuinka jatkuvien kuvauksien, joissa maalijoukkona toimii joko suljettu väli tai koko ℝ, lähtöjoukkoa voidaan laajentaa normaalissa avaruudessa siten, että kuvauksen jatkuvuus ei katoa. Monistot ovat erikoistapauksia normaaleista avaruuksista. Ne ovat Hausdorff avaruuksia, jotka omaavat numeroituvan kannan, ja ovat lisäksi lokaalisti euklidisia. Niitä ei olla suoraan määritelty normaaleiksi, mutta tämä voidaan osoittaa tutkimalla niiden lokaalista kompaktisuutta.