Lineaarisen inversio-ongelman regularisointi typistetyllä singulaariarvohajotelmalla

Abstract

Lineaariset inversio-ongelmat tarkoittavat matemaattisia ongelmia, jotka pyrkivät ratkaisemaan jonkin käänteisen ongelman. Käänteinen ongelma ei ikinä esiinny yksin, vaan sitä vastaa aina suora ongelma, joka tyypillisesti on käänteistä ongelmaa helpompi ratkaista. Ongelman lineaarisuus viittaa puolestaan siihen, että tunnetun ja tuntemattoman välistä riippuvuutta voidaan mallintaa lineaarialgebran keinoin, mikä helpottaa ongelman ratkaisemista. Tässä kandidaatintyössä tutustutaan lineaaristen inversio-ongelmien ratkaisemiseen regularisoimalla ne typistetyllä singulaariarvohajotelmalla. Käänteinen Laplace-muunnos toimii työssä esimerkkinä: tunnetun funktion Laplace-muunnoksen laskeminen on suora ongelma, kun taas tunnetuista Laplace-muunnoksen arvoista alkuperäisen funktion selvittäminen on käänteinen ongelma.

Ratkaistavissa olevat inversio-ongelmat täyttävät niin kutsutut Hadamardin kriteerit. Nämä kriteerit vaativat inversio-ongelmalta ratkaisun olemassaoloa, yksikäsitteisyyttä ja jatkuvaa riippuvuutta datasta. Datalla tarkoitetaan etukäteen tunnettua mittaustulosta, jonka pohjalta inversio-ongelmaa koetetaan ratkaista. Jos inversio-ongelma ei täytä kaikkia Hadamardin kriteereitä, sitä kutsutaan huonosti asetetuksi. Huonosti asetettua ongelmaa ei kannata ratkaista sellaisenaan, vaan sitä tulee muokata niin, että se lopulta täyttää kaikki Hadamardin kriteerit. Ongelman muokkaamista kutsutaan regularisoinniksi.

Inversio-ongelma voidaan regularisoida monella eri tavalla, mutta typistetty singulaariarvohajotelma valitaan työssä käytettäväksi regularisointimenetelmäksi sen yksinkertaisuuden vuoksi. Menetelmä pohjautuu matriisin singulaariarvohajotelmaan ja sen typistämiseen, jossa singulaariarvoja asetetaan nollaksi positiivisen regularisointiparametrin avulla. Regularisointiparametri toimii käytännössä arvona, jota pienemmät singulaariarvot suodatetaan pois ja jota suuremmat singulaariarvot säilyvät ennallaan. Regularisoinnilla saadaan hallittua matriisin häiriöalttiutta, jonka vuoksi pienetkin virheet datassa aiheuttavat merkittävää virhettä inversio-ongelman ratkaisussa. Häiriöalttiuden hallitseminen on tärkeää, sillä todellisissa mittauksissa esiintyy aina satunnaista virhettä eli kohinaa.

Muunnoksen häiriöalttiudesta johtuen käänteinen Laplace-muunnos on hyvä esimerkki huonosti asetetusta inversio-ongelmasta. Pelkkä MATLABin laskentatarkkuus aiheuttaa jo hankaluuksia ongelman ratkaisemisessa. Ongelma saadaan kuitenkin ratkaistua typistetyllä singulaariarvohajotelmalla, kunhan datassa ei esiinny ylimääräistä kohinaa. Ylimääräinen kohina vaikeuttaa käytettävän regularisointimenetelmän toimintaa, sillä häiriöalttius saadaan hallittua vasta niin suurilla regularisointiparametrin arvoilla, että typistämisessä menetetään ratkaisun kannalta oleellisia singulaariarvoja. Regularisointiparametria ei myöskään voida hienosäätää jatkuvasti typistämisen luonteen vuoksi, mikä aiheuttaa omat ongelmansa.