Kuntalaajennuksia ja Galois'n teoriaa

Abstract

Tässä tutkielmassa rakennetaan pohjaa Galois'n teorialle ja tutustutaan sen alkeisiin. Galois'n teoria on abstraktin algebran osa-alue, joka käsittelee kuntateorian ja ryhmäteorian välistä yhteyttä. Sen avulla monia kuntateoriaan liittyviä ongelmia voidaan ratkaista ryhmäteorian avulla. Esimerkiksi polynomin termien kerrointen tarkastelun sijaan voidaan tarkastella saman polynomin juurten permutaatiokuvausten muodostamaa ryhmää. Tämän ryhmän ominaisuuksien perusteella voidaan päätellä esimerkiksi, että voidaanko kyseisen polynomin juuret esittää äärellisinä yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskuista ja juurenotoista koostuvina lausekkeina.

Galois'n teoriaan ei voida kuitenkaan hypätä suoraan pelkän kandidaatintutkinnon aineopintoihin kuuluvan algebran kurssin pohjalta. Nykyaikainen Galois'n teoria perustuu kuntalaajennusten teoriaan, johon matematiikkaa opiskeleva henkilö törmää yleensä aikaisintaan maisteritason opinnoissa. Kuntalaajennus muodostuu kahdesta kunnasta, joista ensimmäistä kutsutaan lähtökunnaksi ja toista laajennuskunnaksi. Kaikki lähtökunnan alkiot sisältyvät laajennuskuntaan, jossa on yleensä myös lähtökuntaan kuulumattomia alkioita. Voidaan siis ajatella, että lähtökuntaa on laajennettu liittämällä sinne uusia alkioita.

Tämän tutkielman alussa määritellään perusteellisesti polynomi ja esitellään muita siihen liittyviä käsitteitä ja lauseita. Erityisesti jaollisuuden käsite on tärkeä. Tämän jälkeen määritellään kuntalaajennus ja käsitellään sen teoriaa polynomien pohjalta, jonka jälkeen rakennetaan Galois'n teorian perusteet kuntalaajennusten pohjalta. Lopuksi todistetaan, että polynomin juurten permutaatiokuvausten muodostaman ryhmän koko on sama kuin sellaisen kuntalaajennuksen aste, jossa kyseisen polynomin kerroinkuntaa on laajennettu liittämällä siihen sen juuret.

Työn tarkoituksena on jatkaa kandidaatintutkintoon kuuluvalla abstraktin algebran kurssilla käsiteltyjen asioiden pohjalta ja esitellä Galois'n teorian alkeiden ymmärtämiseen vaadittavat käsitteet ja todistukset mahdollisimman täsmällisesti ja aukottomasti. Kokonaisuudessaan tämä tutkielma antaa lukijalleen hyvän pohjan kuntalaajennuksista ja Galois'n teorian alkeista, josta on hyvä jatkaa esimerkiksi Galois'n teorian ja muun abstraktin algebran opiskelua.