Timoshenkon palkkimallin värähtelyspektri

Abstract

Palkkirakenteen ominaisvärähtelytaajuuksien määrittäminen on tärkeä osa jaksottaisille kuormille alttiiden tärinäherkkien rakenteiden suunnittelua. Tarkkoja menetelmiä ominaistaajuuksien selvittämiseen ovat kaksi- tai kolmiulotteiset elastodynaamiset mallit ja kokeelliset mittaukset. Palkin värähtelyä voidaan myös analysoida palkkimallien avulla. Klassinen Eulerin–Bernoullin palkkimalli ottaa huomioon ainoastaan taivutusaallot. Osin tämän seurauksena malli ennustaa värähte-lyspektrille ja dispersiolle epäfysikaalisen käyttäytymisen, jossa värähtelyn taajuus ja aallon nopeus kasvavat rajatta aallonpituuden lyhentyessä. Malli onkin käyttökelpoinen lähinnä matalilla ominaistaajuuksilla. Timoshenkon palkkimalli ottaa huomioon palkin poikkileikkauksen keskimääräisen leikkausmuodonmuutoksen ja täten myös rotaatioinertian, jolloin palkissa esiintyy taivutusaaltojen lisäksi leikkausaaltoja. Oleellinen tutkimusongelma Timoshenkon palkkimallissa on se, että se ennustaa kaksi erillistä luonnollisen värähtelyn taajuusspektriä. Ensimmäinen spektri tuottaa johdonmukaisia tuloksia elastodynaamisen teorian ratkaisuihin ja kokeellisesti määritettyihin ominaistaajuuksiin verrattuna myös korkeilla ominaistaajuuksilla. Toinen spektri on kuitenkin epätarkka, eivätkä sen tulokset ole vertailukelpoisia elastodynaamisen teorian ratkaisuihin tai kokeellisiin tuloksiin nähden. Toisen värähtelyspektrin fysikaalinen luonne on ollut useiden tutkimusten kohteena viimeisen vuosisadan aikana. Jotkut tutkijat ovat olleet sitä mieltä, että kahden spektrin tulkinnasta tulisi luopua, ja käsitellä kaikkia taajuuksia yhtenä spektrinä. Useat tutkijat ovat yksimielisiä siitä, että toinen värähtelyspektri on ainoastaan palkkimallin ennustama matemaattisen tarkastelutavan sivutuote, jota ei todellisuudessa ole olemassa. Tätä tukee toisen spektrin aaltojen negatiivinen Ostrogradskin energia, joka on ilmiönä epäfysikaalinen. Kahden värähtelyspektrin esiintyminen havaitaan taajuusyhtälön tekijöihin jakautumisesta. Tekijöihin jakautuminen voidaan osoittaa kolmella tuentatapauksella: niveltuettu, liukutuettu ja nivel-liukutuettu. Timoshenkon palkkimalli kuitenkin ennustaa kaksi värähtelyspektriä riippumatta siitä, voidaanko taajuusyhtälö jakaa tekijöihin. Toisen värähtelyspektrin epätarkkoja tuloksia ei voida siis aina erotella ja jättää huomiotta. Näissä tapauksissa Timoshenkon palkkimallin ennustamat ominaistaajuudet ovat tarkkoja vain kriittisen taajuuden alapuolella. Tällöin tarkasti ennustettavien ominaistaajuuksien lukumäärä riippuu olennaisesti palkin mittasuhteista. Timoshenkon palkkimallin todettiin olevan käyttökelpoinen malli palkkirakenteen ominaistaajuuksien määrittämiseen erityisesti leikkausmuodonmuutoksille alttiissa tai paksuissa rakenteissa silloin, kun voidaan tarkastella erikseen ensimmäisen värähtelyspektrin tuloksia.