Ääriarvoista

Abstract

Tämän tutkielman luvussa 2 käymme läpi aluksi määritelmät globaalille ääriarvolle ja paikalliselle ääriarvolle yhden muuttujan funktioille sekä niihin liittyvät lauseet, todistukset ja esimerkit. Alaluvussa 2.2 esittelemme tarkemmin paikallisen ääriarvoon liittyviä olennaisia lauseita, kuten ensimmäisen kertaluvun derivaatan testin sekä toisen kertaluvun derivaatan testin, joiden avulla muun muassa paikallisten ääriarvojen määrittäminen onnistuu. Esittelemme myös näihin esimerkkeihin liittyvät merkkikaaviot, jotka havainnollistavat eri tilanteet ääriarvoille minimi- ja maksimipisteissä sekä kriittisissä pisteissä ja päätepisteissä, kun tarkastellaan funktioita f(x) ja f’(x) sekä niiden käyttäytymistä.

Luvussa 3 käymme läpi ääriarvojen olemassaoloa yhden muuttujan funktioille. Luvussa käytämme hyödyksi raja-arvon käsitettä sekä aiemmin käytyä globaalin raja-arvon määritelmää. Esittelemme ääriarvojen olemassaoloa koskevan lauseen ja todistamme ääriarvoille maksimi- ja minimiarvon kahdessa osassa, jonka jälkeen esittelemme näihin omat esimerkit perustuen kyseessä olevaan lauseeseen. Esittelemme myös näihin esimerkkeihin liittyvät kuvaajat, jotka havainnollistavat eri tilanteet ääriarvojen olemassaolon tarkastelussa.

Luvussa 4 käymme läpi määritelmät globaalille ääriarvolle ja paikalliselle ääriarvolle kahden muuttujan funktioille sekä niihin liittyvät lauseet ja esimerkit. Luvussa tarkastelemme erityisesti osittaisderivaattoja, jotka ovat olennainen osa tätä lukua. Luvussa esittelemme jälleen toisen kertaluvun derivaatan testin, jota voidaan soveltaa kahden muuttujan funktioissa. Tämän avulla voimme määrittää ja tunnistaa mahdolliset paikalliset ääriarvot sekä satulapiste. Alaluvussa 4.2 esittelemme lopuksi lauseen Hessen matriisille sekä siihen liittyviä esimerkkejä, joissa sovelletaan aiemmin esiteltyä toisen kertaluvun derivaatan testiä sekä matriisilaskennasta tuttua determinantin määritelmää 2 × 2 -matriisissa. Lopussa esittelemme myös näihin esimerkkeihin liittyvät kuvaajat, jotka havainnollistavat eri tilanteet, kun tarkastellaan mahdollisia ääriarvopisteitä sekä niiden luonnetta.