Tasainen jatkuvuus

Abstract

Tasainen jatkuvuus on analyysin käsite, joka koskee jatkuvia funktioita. Funktion tasaista jatkuvuutta voidaan hyödyntää esimerkiksi integroituvuutta tutkittaessa. Tässä tutkielmassa tarkastellaan tasaisen jatkuvuuden käsitettä, ja verrataan sitä tavallisen jatkuvuuden käsitteeseen, jotta lukija huomaisi näiden eron. Tutkielman lukijalta oletetaan joidenkin analyysin perusasioiden tuntemista.

Jos funktio on tasaisesti jatkuva, sen kahden lähekkäin olevan pisteen arvot ovat lähellä toisiaan. Tasainen jatkuvuus on oleellisesti välin käsite, ja se todistetaan usein epsilon-delta-todistuksella. Todistettaessa löydettävä δ ei riipu tarkastelupisteistä, kuten tavallista jatkuvuutta todistettaessa. Tasaisesti jatkuva funktio on aina jatkuva, joten epäjatkuvia funktioita ei ole mielekästä tarkastella. Tutkielmassa todistetaan tulos, jonka mukaan suljetulla välillä jatkuva funktio on tällä välillä tasaisesti jatkuva. Toisaalta karkeasti sanottuna äärettömällä välillä tasaista jatkuvuutta tarkastellessa funktio ei saa kasvaa niin, että kasvu nopeutuu. Esimerkiksi funktio x² ei ole tasaisesti jatkuva määrittelyjoukossaan, mutta √x on.

Tutkielmassa tarkastellaan myös Lipschitz-jatkuvuuden käsitettä, jolle on käyttöä esimerkiksi differentiaaliyhtälöiden teoriassa. Lipschitz-jatkuva funktio on tasaisesti jatkuva, joten jotkut funktiot voidaan osoittaa tasaisesti jatkuvaksi myös Lipschitz-jatkuvuuden määritelmään nojaten.

Tasaisesti jatkuvia funktioita laskettaessa yhteen ja kertoessa reaaliluvulla saadut funktiot ovat edelleen tasaisesti jatkuvia. Tasaisesti jatkuvien funktioiden tulo ja osamäärä eivät välttämättä ole tasaisesti jatkuvia, vaan ne pystytään osoittamaan sellaisiksi vain, kun funktiot ovat tietyllä tavalla rajoitettuja.

Tutkielman lopussa esitetään tapauksia, joissa tasaista jatkuvuutta voidaan käyttää apuna funktion tutkimisessa. Esimerkiksi äärellisellä välillä tasaisesti jatkuva funktio on tällä välillä rajoitettu, joten funktion arvoille voidaan löytää ylä- ja alaraja.