Galois'n yhteydet

Abstract

Tämä tutkielma keskittyy Galois’n yhteyksiin, jotka yleistävät Galois’n teoriassa esitetyt välikuntien ja aliryhmien väliset vastaavuudet. Galois’n yhteys on järjestysisomorfiaa heikompi osittain järjestettyjen joukkojen välinen kuvaus pari, jolla on paljon sovellusmahdollisuuksia useissa matemaattisissa teorioissa. Tutkielman alkupuoli tarjoaa välttämätöntä järjestysteorian ja abstraktin algebran tietämystä, jotta tutkielman pääaiheen käsitteleminen olisi mahdollista. Ensimmäisenä esitellään osittain järjestetty joukko, jonka määritelmään tutkielman loput luvut pohjautuvat. Tämän jälkeen osittain järjestettyjen joukkojen teoriaa syvennetään perehtymällä hiloihin ja täydellisiin hiloihin. Viimeisenä alkupuolessa määritellään vielä neljä erilaista kahden osittain järjestetyn joukon välistä kuvausta ja esitellään näihin liittyviä lauseita. Alkuosan käsittelyn jälkeen päästään tutkielman pääaiheeseen, josta esitellään ensiksi perusteet, useampi esimerkki sekä tapa yleisesti muodostaa Galois’n yhteys kahden mielivaltaisen joukon inkluusioilla varustettujen potenssijoukkojen välille, kun alkuperäisten joukkojen välillä on binäärirelaatio. Tutkielma keskittyy pääasiassa monotonisiin Galois’n yhteyksiin, mutta myös antitoniset Galois’n yhteydet esitellään kattavasti. Viimeisenä Galois’n yhteyksien perusteista perehdytään Galois’n yhteyksien liittokuvausten yksikäsitteisyyteen ja olemassaoloon liittyviin lauseisiin. Galois’n yhteyksien perusteiden esittelyn jälkeen syvennytään ensin sulkeumasysteemien ja sulkeumakuvauksien käsitteisiin. Sulkeumasysteemejä pystytään yhdistämään täydellisiin hiloihin, kun taas sulkeumakuvauksia pystytään yhdistämään sekä täydellisiin hiloihin ja sulkeumasysteemeihin että Galois’n yhteyksiin. Näiden jälkeen taas esitellään Galois’n vastaavuudet, jotka seuraavat Galois’n yhteyksistä, ja Galois’n yhteyksien päälause. Viimeisenä Galois’n vastaavuus esitellään vielä Galois’n teoriassa; esitellään sekä Galois’n alkuperäinen esimerkki että Galois’n teorian päälause, joista Galois’n yhteydet ja vastaavuudet ovat saaneet alkunsa.