Fraktaalien dimensiot
Hukki, Violet (2020)
2020
Matematiikan maisteriohjelma - Master´s Programme in Mathematics
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2020-09-04
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202008316810
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202008316810
Tiivistelmä
Joukkoja, jotka koostuvat äärettömän monesta ja äärettömän pienistä itseään toistavista rakenneosista, kutsutaan fraktaaleiksi. Termin määrittely on melko haastavaa, joten tämän tutkielman määritelmä perustuu fraktaalin kahteen perusominaisuuteen: itsesimilaarisuuteen sekä fraktaaleille ominaiseen Hausdorffin dimensioon.
Tutkielmassa perehdytään ensin mittateorian käsitteisiin, joita ovat joukon suuruus, pituus, peite sekä Hausdorffin mitta. Tästä edelleen siirrytään tarkastelemaan Hausdorffin dimensiota ja itsesimilaarisuutta. Itsesimilaarisuuteen sisältyvät käsitteinä kutistuma, similariteetti, kutistussuhde sekä invarianttius. Huomataan, että fraktaali on joukko, joka on invartiantti similariteeteille ja täten siis itsesimilaarinen joukko.
Tutkielman lopussa tarkastellaan syvemmin neljää eri fraktaalia, Kochin lumihiutaletta, Sierpinskin kolmiota, Mengerin pesusientä sekä Cantorin joukkoa. Näillä neljällä fraktaalilla tarkastellaan esimerkin omaisesti fraktaalien rakennetta sekä niiden Hausdorffin dimensioiden määrittämistä.
Tutkielmaan ja sen sisältöön liittyy lukiolaisille suunnattu interaktiivinen opiskelumateriaali joukko-opista sekä fraktaaleista. Materiaali on löydettävissä tutkielman liitteistä sekä osoitteesta
https://tim.jyu.fi/view/tau/toisen-asteen-materiaalit/matematiikka/kertaus/joukko-oppia-ja-fraktaaleja.
Tutkielmassa perehdytään ensin mittateorian käsitteisiin, joita ovat joukon suuruus, pituus, peite sekä Hausdorffin mitta. Tästä edelleen siirrytään tarkastelemaan Hausdorffin dimensiota ja itsesimilaarisuutta. Itsesimilaarisuuteen sisältyvät käsitteinä kutistuma, similariteetti, kutistussuhde sekä invarianttius. Huomataan, että fraktaali on joukko, joka on invartiantti similariteeteille ja täten siis itsesimilaarinen joukko.
Tutkielman lopussa tarkastellaan syvemmin neljää eri fraktaalia, Kochin lumihiutaletta, Sierpinskin kolmiota, Mengerin pesusientä sekä Cantorin joukkoa. Näillä neljällä fraktaalilla tarkastellaan esimerkin omaisesti fraktaalien rakennetta sekä niiden Hausdorffin dimensioiden määrittämistä.
Tutkielmaan ja sen sisältöön liittyy lukiolaisille suunnattu interaktiivinen opiskelumateriaali joukko-opista sekä fraktaaleista. Materiaali on löydettävissä tutkielman liitteistä sekä osoitteesta
https://tim.jyu.fi/view/tau/toisen-asteen-materiaalit/matematiikka/kertaus/joukko-oppia-ja-fraktaaleja.