Kompleksimatriisien spektraalihajotelma

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on esitellä kompleksimatriisien spektraalihajotelma ja sen olemassaoloon tarvittavia keskeisiä ehtoja. Tutkielman kannalta tärkeää teoriaa ovat kompleksimatriisien ominaisarvot, -vektorit ja -avaruudet, sekä kompleksilukujen ja -matriisien kompleksikonjugaatit. Välttämätöntä on myös ymmärtää kompleksisen sisätuloavaruuden ominaisuudet ja muun muassa vektoreiden ortogonaalisuus ja ortonormaalius. Eräs työn keskeisiä tuloksia on, että kompleksimatriisi on unitaarisesti diagonali- soituva, jos ja vain jos matriisi on normaali matriisi tai jos kompleksiselle vektoriavaruudelle on olemassa kyseisen matriisin ominaisvektoreista koostuva ortonormaali kanta. Keskeistä on täten esitellä hermiittiset, unitaariset ja diagonaalimatriisit ja todeta, että ne ovat normaaleja matriiseja. Läpi käydään myös hermiittisen konjugaatin määritelmä ja ominaisuuksia. Lopuksi todetaan, että normaalille matriisille on mahdollista muodostaa spektraalihajotelma. Käydään myös läpi spektraalihajotelman A = λ1 E1 + λ2 E2 + · · · + λn En matriisin Ei ominaisuuksia ja todetaan, että sen idempotettisuus tarkoittaa, että se muodostaa projektion. Tutkielma on kirjoitettu Anthonyn ja Harveyn kirjaa Linear Algebra Concepts and Methods, Hornin ja Johnsonin kirjaa Matrix Analysis ja Haukkasen luentomonistetta Lineaarialgebra 1B mukaillen.