Banachin-Tarskin paradoksi
Oksanen, Jani (2020)
2020
Matematiikan maisteriohjelma - Master´s Programme in Mathematics
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2020-06-17
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202006116041
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202006116041
Tiivistelmä
Tämä tutkielma esittelee erään tunnetun matemaattisen tuloksen: Banachin-Tarskin paradoksin, joka on seurausta valinta-aksioomasta. Paradoksin mukaan yhden kolmiulotteisen pallon voi kahdentaa niin, että kumpikin kahdennetuista palloista on identtisiä alkuperäisen pallon kanssa. Tutkielma käsittelee myös paradoksaalisuutta yleisemmin ja esittelee siihen liittyviä laajempia käsitteitä.
Tutkielman alkupuoli esittelee lukijalle tarvittavat tiedot ryhmäteoriasta, topologiasta ja mittateoriasta. Tämän jälkeen käsitellään mistä paradoksaalisuus johtuu ja esitellään joitain sen ominaisuuksia, mistä siirrytään itse paradokseihin. Lopuksi tarkastellaan pintapuolisesti muovautuvia ryhmiä, jotka saivat alkunsa Banachin-Tarskin paradoksista.
Tutkielman alkupuoli esittelee lukijalle tarvittavat tiedot ryhmäteoriasta, topologiasta ja mittateoriasta. Tämän jälkeen käsitellään mistä paradoksaalisuus johtuu ja esitellään joitain sen ominaisuuksia, mistä siirrytään itse paradokseihin. Lopuksi tarkastellaan pintapuolisesti muovautuvia ryhmiä, jotka saivat alkunsa Banachin-Tarskin paradoksista.