Konformikuvauksen ja harmonisten funktioiden välisestä yhteydestä

Abstract

Konformikuvaus on funktio, joka säilyttää määrittelyjoukossa olevien käyrien väliset kulmat. Tällainen kuvaus on hyödyllinen, koska sen avulla monimutkaisessakin geometriassa esitettyjä ongelmia voidaan kuvata yksinkertaisempaan alueeseen. Kompleksianalyysi tarjoaa kätevän tavan käsitellä konformikuvausta, sillä analyyttinen kompleksikuvaus säilyttää kulmat, ja on näin ollen konformikuvaus. Tässä työssä konformikuvausta käsitellään kompleksianalyysin keinoin.

Työssä kutsutaan funktioita termillä kuvaus, koska halutaan painottaa funktion määrittely- ja maalijoukon muodon muutosta. Koska kompleksimuuttujat ovat luonteeltaan kaksiulotteisia, niitä ei voida kuvata samalla tavalla kuin reaalilukuja. Täten kompleksimuuttujia kuvataan niin, että funktion määrittelyjoukon pisteet kuvataan toiseen koordinaatistoon. Näiden koordinaatistojen ei tarvitse olla samat, mutta tässä työssä kuvaukset rajottuvat vain kompleksitasoon. Peruskuvauksia ovat siirto, laajennus ja inversio. Nämä yhdistämällä saadaan yleinen muoto lineaariselle kuvaukselle, joka tunnetaan Möbius-kuvauksena.

Työn yksi päätavoite on todistaa, että harmonisen funktion ja konformikuvauksen yhdistelmä on harmoninen konformikuvauksen määrittelyjoukossa. Tätä voidaan hyödyntää, kun halutaan löytää harmoninen funktio hankalan geometrian läheisyydestä. Yhteyttä hyödynnetään meriteollisuudessa niin sanotuissa seakeeping-laskuissa, joissa pyritään etsimään fluidin liikkestä aiheutuvan lisätyn massan ja vaimennuksen kertoimia. F. Ursell osoitti miten tällaiset kertoimet voidaan johtaa äärettömän pitkälle ylös-alas-suuntaiselle liikkeiselle sylinterille. Yksi oleellinen osa tätä osoitusta on, että fluidin virtaus- ja nopeusfunktiot ovat harmonisia. Koska konformikuvauksessa harmonisuus säilyy, voidaan laivan poikkileikkauksen profiili kuvata yksikköympyräksi niin, että nämä funktiot säilyttävät harmonisuuden. Tämän jälkeen kertoimet voidaan ratkaista käyttämällä Ursellin metodia.