Ramanujan-Nagellin yhtälö
Salminen, Sabina (2020)
2020
Matematiikan maisteriohjelma - Master´s Programme in Mathematics
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2020-06-02
Julkaisun pysyvä osoite on
http://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202005305845
http://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202005305845
Tiivistelmä
Intialainen matemaatikko Srinivasa Ramanujan esitti vuonna 1913 väitteen, että
muotoa x^2+7=2^n olevan yhtälön, missä x,n ovat luonnollisia lukuja, kaikki ratkaisut
ovat (x,n) = (1,3), (3,4), (5,5), (11,7) ja (181,15). Väite sai todistuksensa vuonna
1948, kun norjalainen matemaatikko Trygve Nagell sai yhtälön ratkaistua. Täten
yhtälöä kutsutaan Ramanujan-Nagellin yhtälöksi, ja siitä on olemassamyös yleistetty
muoto x^2-D=p^n, missä p on alkuluku ja D negatiivinen kokonaisluku.
Tutkielmassa esittelemme algebrallisen lukuteorian peruskäsitteitä, ideaaleja ja
moduleita. KäsittelemmemyösNoetherin ja Dedekindin kokonaisalueita ja tutustumme
niiden ominaisuuksiin. Lisäksi tutustumme Lucas-Lehmerin teoriaan ja Lucasfunktioiden
jaollisuuteen. Näiden tietojen avulla tarkastelemme Ramanujan-Nagellin
yhtälöä ja sen yleistetyn muodon erilaisia versioita, sekä esittelemme niiden ratkaisujen
todistuksia.
Lähdekirjallisuutena on pääosin käytetty Richard A. Mollinin teosta Advanced
Number Theory with Applications.
muotoa x^2+7=2^n olevan yhtälön, missä x,n ovat luonnollisia lukuja, kaikki ratkaisut
ovat (x,n) = (1,3), (3,4), (5,5), (11,7) ja (181,15). Väite sai todistuksensa vuonna
1948, kun norjalainen matemaatikko Trygve Nagell sai yhtälön ratkaistua. Täten
yhtälöä kutsutaan Ramanujan-Nagellin yhtälöksi, ja siitä on olemassamyös yleistetty
muoto x^2-D=p^n, missä p on alkuluku ja D negatiivinen kokonaisluku.
Tutkielmassa esittelemme algebrallisen lukuteorian peruskäsitteitä, ideaaleja ja
moduleita. KäsittelemmemyösNoetherin ja Dedekindin kokonaisalueita ja tutustumme
niiden ominaisuuksiin. Lisäksi tutustumme Lucas-Lehmerin teoriaan ja Lucasfunktioiden
jaollisuuteen. Näiden tietojen avulla tarkastelemme Ramanujan-Nagellin
yhtälöä ja sen yleistetyn muodon erilaisia versioita, sekä esittelemme niiden ratkaisujen
todistuksia.
Lähdekirjallisuutena on pääosin käytetty Richard A. Mollinin teosta Advanced
Number Theory with Applications.