Eräiden palkkimallien staattisten ominaisuuksien vertailua

Abstract

Palkkimalleilla on suuri merkitys teknisessä suunnittelussa ja rakenteiden analysoinnissa. Palkin käyttäytymistä kuvaavia malleja on useita, jotka eroavat toisistaan niiden perusotaksumien puolesta. Tässä työssä keskitytään kolmen mallin staattisten ominaisuuksien vertailuun. Klassinen Eulerin–Bernoullin palkkimalli jättää palkissa vaikuttavan leikkausjännityksen huomioimatta, joka aiheuttaa virhettä lyhyillä ja korkeilla palkeilla. Timoshenkon palkkimalli pyrkii vastaamaan näihin puutteisiin ottamalla poikittaiset leikkausmuodonmuutokset likimääräisesti huomioon. Malli olettaa vakio liukumaa koko poikkileikkauksessa, joka todellisuudessa on suurimmillaan palkin neutraaliakselilla ja häviää palkin ylä- ja alapinnalla. Lisäksi se olettaa poikittaisen leikkausjännityksen vakiotilan suhteessa korkeuskoordinaattiin, joka synnyttää mallissa virhettä, jota kompensoidaan korjauskertoimella. Työssä tutkitaan Timoshenkon mallin epäkohtien korjaamiseksi kehiteltyä Levinsonin–Bickfordin–Reddyn palkkimallia. Mallissa siirtymäkenttä mukauttaa poikittaisen leikkausmuodonmuutoksen kvadraattisen jakauman, jolloin korjauskerrointa ei tarvitse käyttää. Työn tarkoituksen on selvittää oleelliset erot mallien välillä ja tutkia niiden tarkkuutta sekä soveltuvuutta eri käyttökohteissa. Tarkastelu perustuu staattisesti määrättyyn esimerkkitehtävään, jonka tuloksia vertaillaan keskenään. Kiinnostuksen kohteena on myös selvittää, kuinka työlästä Levinsonin–Bickfordin–Reddyn kuudennen kertaluvun differentiaaliyhtälö on muodostaa verrattuna Timoshenkon ja Eulerin–Bernoullin mallien neljännen kertaluvun differentiaaliyhtälöihin. Esimerkkitehtävän tilanteessa Eulerin–Bernoullin mallin kinemaattisten rajoitteiden johdosta palkin siirtymätila häviää, kun jakaantunut momenttikuormitus on vakio. Levinsonin–Bickfordin– Reddyn ja Timoshenkon mallien salliessa leikkausmuodonmuutokset, palkilla siirtymätila koostuu kiertymästä, joka on vakio koko palkin pituuden suhteen ja siihen syntyy lisäys liukumasta, joka on niin ikään vakio koko palkin pituuden. Korkeamman kertaluvun malleissa luovutaan tasomaisuus olettamuksesta, jolloin voimaresultantit laajentuvat vastaamaan käyristynyttä siirtymäkenttää, jolloin kiertymän tuloksesta saadaan tarkempi ratkaisu. Palkkimalleissa yhteisesti taivutusmomentti häviää palkin pituudelta ja ainoana sisäisenä rasituksena palkille syntyy vakio leikkausvoima. Työssä saatujen mallien tuloksien erot ovat staattisesti määrätyn mitoitustehtävän kannalta mitättömiä. Näyttäisi siltä, ettei Levinsonin–Bickfordin–Reddyn mallilla kannata korvata Timoshenkon mallia staattisten tilanteiden suunnittelun työkaluna. Korkeamman kertaluvun palkkimalleja käytetään täten harvoin, koska näiden saavuttama tarkkuus, joka vaatii paljon vaivaa tasapainoyhtälöiden ratkaisemiseksi, on melko pieni. Korkeamman kertaluvun malleissa geometria rajoittuu suorakaiteen muotoisiin poikkileikkauksiin, joka tuo puutteita käytännön hyödyntämistä ajatellen.