Landau-tasot ja varattu hiukkanen magneettikentässä

Abstract

Tämän kandidaatintyön tarkoituksena on toimia helposti lähestyttävänä ja itsenäisenä johdantona sähkömagneettisten kenttien ja kvanttimekaniikan yhdistämiseen. Klassisesta mekaniikasta tiedetään varatun hiukkasen liikkuvan magneettikentässä ympyrärataa pitkin. Siirryttäessä pieneen mittakaavaan ja riittävän voimakkaisiin magneettikenttiin, nämä ympyräradat kvantisoituvat. Tämä havaitaan energiaspektrissä tasanteina, joita kutsutaan Landau-tasoiksi. Tässä kandidaatintutkielmassa perehdytään aiheeseen liittämällä sähkömagneettiset kentät näiden potentiaalimuodon avulla schrödingerin yhtälöön. Työssä esitellään mittainvarianssia ja perehdytään Hamiltonin funktion fysikaaliseen perustaan. Tämän jälkeen esitellään Schrödingerin yhtälön perusteet ja syvennytään Landau-tasojen laskemiseen niin analyyttisesti kuin numeerisesti. Numeerinen laskenta tehdään diskreettiä differenssimenetelmää käyttäen. Tutkielma on suunnattu fysiikan toisen ja kolmannen vuoden yliopisto-opiskelijoille, mutta kuka tahansa jolla on pintapuolinen ymmärrys mekaniikasta, sähkömagnetismista ja lukio-tason matematiikasta saanee tutkielmasta hyötyä. Sähkömagnetismin ja kvanttimekaniikan rajapinta osoittautuu erittäin oleelliseksi, mutta yksinkertaiseksi lähtökohdaksi kvanttimekaniikan soveltamiseksi käytäntöön. Tämä oleellinen aihe jää monista peruskurssien oppimääristä pois ja tämän työn tarkoitus onkin koota tietoa helposti sisäistettäväksi ja mahdollisimman itsenäiseksi kokonaisuudeksi.