Kompleksianalyysin perusteita lukiolaiselle
Myllyoja, Essi (2020)
2020
Matematiikan maisteriohjelma - Master´s Programme in Mathematics
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2020-05-18
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202005155338
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202005155338
Tiivistelmä
Tämän tutkielman tavoitteena on toimia itseopiskelu- tai kurssimateriaalina kompleksilukujen perusteista. Materiaali pyrkii noudattamaan täsmällistä matemaattista esitystapaa, kuitenkin oppikirjamaiseen tyyliin. Materiaali sisältää runsaasti esimerkkejä, kuvia ja harjoitustehtäviä vastauksineen, jotta sen käyttöönotto olisi mahdollisimman helppoa. Lähtötasona on lukion pitkän oppimäärän, erityisesti murtolukujen, potenssin, juuren, polynomien ja trigonometristen funktioiden laskusääntöjen hallinta sekä yhtälönratkaisun perusteet. Kaikki välivaiheet on kuitenkin pyritty paloittelemaan osiin, jotta niiden seuraaminen olisi mahdollisimman helppoa. Johdannossa on esitelty kurssin tavoitteet ja ajankäyttöehdotus, mikäli materiaalia haluaa käyttää opetukseen.
Eräs motiivi reaalilukujen laajennukselle kompleksilukujen joukkoon on tarve saada ratkaisu yhtälölle, joiden ratkaisu ei löydy reaalilukujen joukosta. Tästä ja kompleksilukujen historiallisesta lähtökohdasta kerrotaan lisää luvussa 3. Luvussa 4 tutustutaan kompleksilukujen määritelmään reaalilukuparina, sekä imaginaariyksikköön i^2 = −1, lähtökohtana, ettei lukijalla ole niistä aiempaa kokemusta. Luvussa 5 käsitellään kompleksilukujen liittolukua ja niiden itseisarvoa eli etäisyyttä origosta. Luvussa todistetaan ja hyödynnetään niihin liittyviä lauseita sekä tutkitaan niiden geometriaa. Luvussa 6 opetellaan kompleksiluvuille uusi esitystapa: napakoordinaattimuoto. Harjoitellaan laskutoimituksia sen avulla ja pohditaan sen etuja verrattuna reaalilukupariesitykseen. Luvussa 7 sovelletaan aiemmissa luvuissa opittua laskemalla kompleksilukujen potenssia ja juuria sekä tutustutaan de Moivren kaavaan. Luvussa 8 etsitään polynomien nollakohtia kompleksilukujen joukosta tuttua toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa käyttäen. Luvussa myös todistetaan, että jokaisella n-asteisella yhtälöllä on n kpl ratkaisuja. Luvussa 9 käydään läpi kompleksifunktion määritelmä. Kompleksifunktion kuvaaja sijaitsee neliulotteisessa avaruudessa, joten sen kuvaaminen vaatii uusia keinoja, joita luvussa käsitellään yksinkertaisten funktioiden avulla. Lopuksi käydään läpi kompleksifunktion erityistapauksia, kuten eksponenttifunktio ja trigonometriset funktiot.
Eräs motiivi reaalilukujen laajennukselle kompleksilukujen joukkoon on tarve saada ratkaisu yhtälölle, joiden ratkaisu ei löydy reaalilukujen joukosta. Tästä ja kompleksilukujen historiallisesta lähtökohdasta kerrotaan lisää luvussa 3. Luvussa 4 tutustutaan kompleksilukujen määritelmään reaalilukuparina, sekä imaginaariyksikköön i^2 = −1, lähtökohtana, ettei lukijalla ole niistä aiempaa kokemusta. Luvussa 5 käsitellään kompleksilukujen liittolukua ja niiden itseisarvoa eli etäisyyttä origosta. Luvussa todistetaan ja hyödynnetään niihin liittyviä lauseita sekä tutkitaan niiden geometriaa. Luvussa 6 opetellaan kompleksiluvuille uusi esitystapa: napakoordinaattimuoto. Harjoitellaan laskutoimituksia sen avulla ja pohditaan sen etuja verrattuna reaalilukupariesitykseen. Luvussa 7 sovelletaan aiemmissa luvuissa opittua laskemalla kompleksilukujen potenssia ja juuria sekä tutustutaan de Moivren kaavaan. Luvussa 8 etsitään polynomien nollakohtia kompleksilukujen joukosta tuttua toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa käyttäen. Luvussa myös todistetaan, että jokaisella n-asteisella yhtälöllä on n kpl ratkaisuja. Luvussa 9 käydään läpi kompleksifunktion määritelmä. Kompleksifunktion kuvaaja sijaitsee neliulotteisessa avaruudessa, joten sen kuvaaminen vaatii uusia keinoja, joita luvussa käsitellään yksinkertaisten funktioiden avulla. Lopuksi käydään läpi kompleksifunktion erityistapauksia, kuten eksponenttifunktio ja trigonometriset funktiot.