Hyperoperaatiot : Laajennus laskutoimituksiin

Abstract

Lukumäärää ilmaistaan luonnollisilla luvuilla. Ne määritellään Peanon aksioomilla, joista viimeinen esittelee matemaattisen induktion. Se on todistusmenetelmä, jonka avulla lause osoitetaan todeksi jokaista luonnollista lukua kohti aloittaen jostain luvusta. Matemaattinen induktio on erityisen tehokas, jos lauseessa esiintyy rekursiivisesti määriteltyjä funktioita. Rekursio tarkoittaa funktion määrittelemistä osin itsellään. Työn tavoitteena on tutkia uusia, rekursiivisesti määriteltäviä luonnollisten lukujen laskutoimituksia ja niiden algebrallisia ominaisuuksia. Laskutoimitus on kuvaus, joka liittää kahteen luonnolliseen lukuun yhden luonnollisen luvun. Tutuimmat niistä ovat yhteen- ja kertolasku ja potenssiin korotus. Seuraava laskutoimitus on tetraatio, joka on rekursio potenssiin korotuksesta samalla tavalla kuin potenssiin korotus on rekursio kertolaskusta. Tetraatiota kutsutaan potenssitorniksi. Jos tämänkaltaista rekursiivista määrittelyä jatketaan, niin laskutoimituksia muodostuu äärettömän paljon. Niiden muodostamaa joukkoa kutsutaan nimellä hyperoperaatiot, ja niitä merkitään yleensä Knuthin nuolinotaatiolla. Se on rekursiivinen laskutoimitus, jossa kolme luonnollista lukua kuvautuvat yhdeksi luonnolliseksi luvuksi. Kolmikon kolmas luku osoittaa, mikä laskutoimitus on kyseessä. Hyperoperaatioiden merkintätapa ei ole vakiintunut, vaikka niiden tutkiminen alkoi 1920-luvulla, kun Wilhelm Ackermann julkaisi kehittelemänsä φ -funktion. Knuthin nuolinotaatiosta seuraa kaksi identiteettiä, joiden avulla todistetaan, että potenssiin korotuksen jälkeiset laskutoimitukset ovat aidosti kasvavia kolmella eri tavalla: kummankin operandin suhteen ja laskutoimituksen suhteen. Lisäksi perustellaan, että hyperoperaatiot eivät ole liitännäisiä eivätkä vaihdannaisia. Työn päätuloksena todistetaan Tetraponent Lemma, joka on tietynlainen tetraatioepäyhtälö ja jonka avulla arvioidaan erittäin suuria lukuja. Nimi Tetraponent Lemma ei ole yleisesti käytössä, mutta tulos on tunnettu. Käytännön sovelluksia ei liene vielä keksitty. Esimerkki luvuista googolplex ja Grahamin luku osoittaa, että järjestysrelaatio on voimassa myös luvuilla, joita voisi luonnehtia jopa järjenvastaisiksi, koska ne ovat niin suuria. Tetraponent Lemman nojalla suuret luvut eivät jää epämääräisiksi tai käsittämättömiksi.