Aritmeettisista funktioista

Abstract

Tämä tutkielma käsittelee aritmeettisia eli lukuteoreettisia funktioita, joiden tutkiminen on yksi lukuteorian osa-alue. Aritmeettinen funktio on sellainen funktio, jonka määrittelyjoukko on positiivisten kokonaislukujen joukko ja maalijoukko reaali- tai kompleksilukujen joukko. Aritmeettisilla funktioilla tutkitaan positiivisten kokonaislukujen ominaisuuksia, esimerkiksi syötteeksi annetun luvun jakajien määrää tai summaa. Aluksi tutkielmassa määritellään aritmeettiset funktiot, käsitellään multiplikatiivisuutta, joka on näiden funktioiden ominaisuus, sekä esitellään Dirichlet’n tulo, joka on aritmeettisten funktioiden laskutoimitus. Tämän jälkeen tutkielmassa perehdytään muutamiin tunnetuimpiin aritmeettisiin funktioihin sekä niihin liittyviin ominaisuuksiin kirjallisuuteen ja esimerkkeihin tukeutuen. Tutkielman lopussa esitellään näiden aritmeettisten funktioiden keskiarvoja. Päälähteenä tutkielmassa on käytetty Tom M. Apostolin kirjaa Introduction to Analytic Number Theory.