Lyhdekohomologia

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on perehtyä lyhdekohomologiaan, joka on hyödyllinen työkalu esimerkiksi kompleksianalyysin tutkimuksessa. Tutkielman aluksi määritellään esilyhteisiin ja lyhteisiin liittyvät peruskäsitteet sekä näiden väliset homomorfismit. Tämän jälkeen määritellään esilyhteeseen liittyvä lyhde, jonka avulla kaikki esilyhteet voidaan muuntaa lyhteiksi. Tätä määritelmää käytetään hyväksi lyhdehomomorfismien kuvien määrittelyssä.

Lyhteiden perusteiden määrittelyn jälkeen siirrytään tarkastelemaan lyhteiden eksakteja jonoja. Määritelmän jälkeen huomataan, että lyhteiden eksakti jono ei välttämättä toteuta kaikkia siltä haluttuja ominaisuuksia, mikä toimii motivaationa lyhdekohomologian määrittelemiselle ja tutkimiselle. Tämän havainnon pohjalta lähdetään tarkastelemaan yleisempää muotoa esilyhteeseen liittyvästä lyhteestä ja nimetään näin saatu lyhde Godementin lyhteeksi. Tämän jälkeen määritellään lyhteen resoluutio ja osoitetaan, että Godementin lyhteet muodostavat resoluution mielivaltaiselle lyhteelle.

Seuraavaksi otetaan käyttöön käsite veltto lyhde, ja todistetaan, että velttojen lyhteiden eksakteja jonoja tutkiessa aiemmin kohdattu ongelma poistuu. Todistetaan myös, että Godementin lyhde on veltto ja määritellään lyhteen veltto resoluutio. Sitten todetaan, että aiemmin muodostettu jono lyhteen Godementin resoluutioita muodostaa lyhteen velton resoluution, joka tunnetaan nimellä Godementin resoluutio. Tämän jälkeen määritellään lyhteelle kohomologia ja todistetaan, että Godementin resoluutio tuottaa pitkän eksaktin kohomologiaryhmien jonon lyhyelle eksaktille jonolle lyhteitä. Lopuksi todistetaan, että kohomologiaryhmät eivät riipu velton resoluution valinnasta isomorfismeja lukuun ottamatta.