Derivoidut funktorit

Abstract

Tämä tutkielma käsittelee derivoituja funktoreita. Jotta voidaan edes puhua funktoreista, tarvitaan kategoriateoriaa. Erityisesti kategoriateoriaan liittyen osoitetaan, että Hom(A,.) ja Hom(.,A) funktoreita sekä esitellään luonnollinen transformaatio. Tämän jälkeen määritellään eksakti jono, lyhyt eksakti jono, lohkeava eksakti jono ja eksaktit funktorit.

Ennen projektiivisia ja injektiivisiä moduleita kerrataan välttämättömiä tuloksia lineaarialgebrasta, erityisesti tensoritulosta. Tensoritulosta johdetaan kaksi tärkeää funktoria. Projektiivisista ja injektiivisistä moduleista osoitetaan lauseita liittyen lyhyisiin eksakteihin jonoihin, jonon lohkeamiseen ja niiden yhteydestä funktoreiden Hom(A,.) ja Hom(.,A) eksaktisuuteen. Mutta kuitenkin tärkeimmät tulokset ovat, että jokainen moduli on jonkin projektiivisen modulin homomorfinen kuva ja jokainen moduli voidaan upottaa injektiiviseen moduliin.

Ketjukomplekseista esitellään erityisesti homologia ja osoitetaan, että siitä saadaan funktori. Lisäksi esitellään lause, jonka avulla saadaan pitkiä eksakteja jonoja ketjukompleksien lyhyistä eksateista jonoista.

Sekä projektiivisille että injektiivisille resoluutioille esitellään kaksi tärkeää lausetta. Ensinnäkin, että jokaisella modulilla on olemassa sekä projektiivinen, että injektiivinen resoluutio, ja toiseksi näiden vertailulauseet. Myöhemmin näistä lauseista seuraa derivoitujen funktoreiden olemassaolo, ja että nämä ovat riippumattomia resoluution valinnasta. Lisäksi derivoiduista funktoreista todistetaan näihin liittyvien pitkien eksaktien jonojen olemassaolo.

Lopuksi esitellään kaksi tärkeintä derivoitua funktoria, Ext ja Tor. Kumpikin näistä voidaan määritellä kahdella eri tavalla, mutta osoitetaan että ne tuottavat isomorfiset modulit.