Gröbnerin kannat

Abstract

Gröbnerin kanta on kuntakertoimisen polynomirenkaan ideaalin virittäjäjoukko. Sen ominaisuus on, että valittaessa mielivaltainen ideaalin polynomi, löytyy Gröbnerin kannasta polynomi, jonka korkein termi jakaa kyseisen mielivaltaisesti valitun polynomin korkeimman termin. Jokaisella kuntakertoimisen polynomirenkaan ideaalilla on Gröbnerin kanta, ja itse asiassa jokaisella polynomirenkaan ideaalilla on yksikäsitteinen redusoitu Gröbnerin kanta, jossa on minimaalinen määrä polynomeja. Gröbnerin kannoilla on useita sovelluksia muun muassa laskennallisessa algebrassa. Tässä tutkielmassa tutustutaan Gröbnerin kantoihin ja niiden konstruktioon Buchbergerin algoritmin avulla. Sitä varten esitellään termijärjestyksen määritelmä sekä usean muuttujan polynomien jakoalgoritmi. Lisäksi käydään läpi muutamia sovelluksia Gröbnerin kannoille, kuten polynomiyhtälöryhmien ratkaiseminen sekä esitellään Gröbnerin kantojen laskemista tietokoneohjelmiston avulla.