Hyppää sisältöön
    • Suomeksi
    • In English
Trepo
  • Suomeksi
  • In English
  • Kirjaudu
Näytä viite 
  •   Etusivu
  • Trepo
  • Opinnäytteet - ylempi korkeakoulututkinto
  • Näytä viite
  •   Etusivu
  • Trepo
  • Opinnäytteet - ylempi korkeakoulututkinto
  • Näytä viite
JavaScript is disabled for your browser. Some features of this site may not work without it.

Sylowin lauseet äärellisten ryhmien teoriassa

Heiskanen, Aleksi (2017)

 
Avaa tiedosto
1511860871.pdf (716.6Kt)
Lataukset: 



Heiskanen, Aleksi
2017

Matematiikan ja tilastotieteen tutkinto-ohjelma - Degree Programme in Mathematics and Statistics
Luonnontieteiden tiedekunta - Faculty of Natural Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2017-11-24
Näytä kaikki kuvailutiedot
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:uta-201711282814
Tiivistelmä
Tutkielmassa perehdytään äärellisten ryhmien teoriaan erityisesti Sylowin lauseiden näkökulmasta. Sylowin lauseet täsmentävät äärellisten ryhmien rakennetta ja ovat perustavaa laatua oleva tulos äärellisten ryhmien luokittelun taustalla. Niiden avulla voidaan hahmottaa, minkälaisia tietyn kertaluvun omaavat äärelliset ryhmät ovat. Sylowin lauseet kertovat, että alkuluvulla p jaollista kertalukua olevat ryhmät sisältävät kaikki Lagrangen lauseen perusteella mahdolliset p-aliryhmät. Toisaalta niiden mukaan kaikki ryhmän Sylowin p-aliryhmät ovat konjugaatteja keskenään. Ne täsmentävät myös hyödyllisellä kongruenssilla, kuinka monta Sylowin p-aliryhmää äärellisessä ryhmässä on.

Äärellisten ryhmien teoriaan tullaan johdattelemaan tuomalla aluksi esiin joukko-opillisia perusmääritelmiä, kuten relaatio ja kuvaus. Määritellään ryhmä ja tutkielmassa keskeisessä osassa olevan kertaluvun käsite. Tutustutaan permutaatioryhmiin ja käydään läpi aliryhmän, syklisen ryhmän, normaalin aliryhmän ja yksinkertaisen ryhmän käsitteet. Todistetaan myös alternoivan ryhmän yksinkertaisuus. Kohdistetaan tarkastelu edelleen kuvauksiin, joita ovat ryhmien väliset isomorfiat, ja todistetaan kolme isomorfialausetta.

Tutkielman keskiössä ovat ryhmätoiminnat, joiden avulla tullaan todistamaan Sylowin lauseet. Määritellään erityisen hyödyllinen ryhmän toiminta, konjugaatio, jota käytetään Sylowin lauseiden todistukseen ja sen avulla määritellään joukon normalisoijan ja keskittäjän käsitteet. Todistetaan lisäksi Cauchyn lause ja määritellään p-ryhmän ja Sylowin p-aliryhmän käsitteet.

Sylowin lauseiden hyödyllisyyttä tutkitaan tarkastelemalla äärellisten ryhmien yksinkertaisuutta. Osoitetaan, että ryhmät kertaluvuilla 1-100 eivät ole yksinkertaisia tai ovat vaihdannaisia kertalukua 60 lukuun ottamatta. Todistetaan myös, että alternoiva ryhmä on isomorfiaa vaille ainoa ryhmä, jonka kertaluku 60. Edelleen Sylowin lauseita käytetään ryhmien luokittelussa. Tullaan luokittelemaan isomorfiaa vaille erilaiset ryhmät kertaluvuilla 1-10 ja osoittamaan, että kertaluvun pqr omaava ryhmä, missä p, q ja r ovat eri alkulukuja, on syklinen alkuluvuille asetetuin tietyin jaollisuusehdoin.
Kokoelmat
  • Opinnäytteet - ylempi korkeakoulututkinto [37056]
Kalevantie 5
PL 617
33014 Tampereen yliopisto
oa[@]tuni.fi | Tietosuoja | Saavutettavuusseloste
 

 

Selaa kokoelmaa

TekijätNimekkeetTiedekunta (2019 -)Tiedekunta (- 2018)Tutkinto-ohjelmat ja opintosuunnatAvainsanatJulkaisuajatKokoelmat

Omat tiedot

Kirjaudu sisäänRekisteröidy
Kalevantie 5
PL 617
33014 Tampereen yliopisto
oa[@]tuni.fi | Tietosuoja | Saavutettavuusseloste