Sylowin lauseet äärellisten ryhmien teoriassa

Abstract

Tutkielmassa perehdytään äärellisten ryhmien teoriaan erityisesti Sylowin lauseiden näkökulmasta. Sylowin lauseet täsmentävät äärellisten ryhmien rakennetta ja ovat perustavaa laatua oleva tulos äärellisten ryhmien luokittelun taustalla. Niiden avulla voidaan hahmottaa, minkälaisia tietyn kertaluvun omaavat äärelliset ryhmät ovat. Sylowin lauseet kertovat, että alkuluvulla p jaollista kertalukua olevat ryhmät sisältävät kaikki Lagrangen lauseen perusteella mahdolliset p-aliryhmät. Toisaalta niiden mukaan kaikki ryhmän Sylowin p-aliryhmät ovat konjugaatteja keskenään. Ne täsmentävät myös hyödyllisellä kongruenssilla, kuinka monta Sylowin p-aliryhmää äärellisessä ryhmässä on.

Äärellisten ryhmien teoriaan tullaan johdattelemaan tuomalla aluksi esiin joukko-opillisia perusmääritelmiä, kuten relaatio ja kuvaus. Määritellään ryhmä ja tutkielmassa keskeisessä osassa olevan kertaluvun käsite. Tutustutaan permutaatioryhmiin ja käydään läpi aliryhmän, syklisen ryhmän, normaalin aliryhmän ja yksinkertaisen ryhmän käsitteet. Todistetaan myös alternoivan ryhmän yksinkertaisuus. Kohdistetaan tarkastelu edelleen kuvauksiin, joita ovat ryhmien väliset isomorfiat, ja todistetaan kolme isomorfialausetta.

Tutkielman keskiössä ovat ryhmätoiminnat, joiden avulla tullaan todistamaan Sylowin lauseet. Määritellään erityisen hyödyllinen ryhmän toiminta, konjugaatio, jota käytetään Sylowin lauseiden todistukseen ja sen avulla määritellään joukon normalisoijan ja keskittäjän käsitteet. Todistetaan lisäksi Cauchyn lause ja määritellään p-ryhmän ja Sylowin p-aliryhmän käsitteet.

Sylowin lauseiden hyödyllisyyttä tutkitaan tarkastelemalla äärellisten ryhmien yksinkertaisuutta. Osoitetaan, että ryhmät kertaluvuilla 1-100 eivät ole yksinkertaisia tai ovat vaihdannaisia kertalukua 60 lukuun ottamatta. Todistetaan myös, että alternoiva ryhmä on isomorfiaa vaille ainoa ryhmä, jonka kertaluku 60. Edelleen Sylowin lauseita käytetään ryhmien luokittelussa. Tullaan luokittelemaan isomorfiaa vaille erilaiset ryhmät kertaluvuilla 1-10 ja osoittamaan, että kertaluvun pqr omaava ryhmä, missä p, q ja r ovat eri alkulukuja, on syklinen alkuluvuille asetetuin tietyin jaollisuusehdoin.