Ramseyn teoria
Laine, Jenna (2017)
2017
Matematiikan ja tilastotieteen tutkinto-ohjelma - Degree Programme in Mathematics and Statistics
Luonnontieteiden tiedekunta - Faculty of Natural Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2017-06-30
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:uta-201707072188
https://urn.fi/URN:NBN:fi:uta-201707072188
Tiivistelmä
Tässä tutkielmassa käsitellään Ramseyn teoriaa ja keskitytään erityisesti Ramseyn lauseen todistukseen sekä Ramseyn lukuihin ja niiden arviointiin. Ramseyn teoriassa etsitään riittävän isolta joukolta pienempiä osajoukkoja, joilla on jokin haluttu ominaisuus. Erityisesti mielenkiintoista on myös se, kuinka iso alkuperäisen joukon täytyy olla, jotta haluttu osajoukko voidaan löytää.
Ramseyn teoriaa voidaan havainnollistaa esimerkiksi verkkoteorian avulla, joka on otettu lähtökohdaksi myös tässä tutkielmassa. Ennen Ramseyn teoriaa esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä, sekä havainnollistetaan niitä esimerkein. Tämän lisäksi tutustutaan kyyhkyslakkaperiaatteeseen, joka on hyvin hyödyllinen monessa Ramseyn teoriaan liittyvässä ongelmassa. Tutkielmassa käsitellään myös verkkojen värityksiä, jotka ovat keskeinen osa Ramseyn teoriaa.
Ramseyn teoriaa esitellään erilaisten esimerkkien avulla ja määritellään Ramseyn teorian kannalta olennaisia käsitteitä ja käydään läpi muutamia hyödyllisiä apulauseita. Tutkielman merkittävimpänä osana todistetaan Ramseyn lause eri värityksille ja osajoukoille, sekä esitellään tähän mennessä löydettyjä Ramseyn lukuja ja arvioita esimerkkien avulla. Esimerkeissä hyödynnetään erityisesti Ramseyn lauseen todistuksissa saatuja tuloksia etsittäessä ylärajoja Ramseyn luvuille. Koko tutkielman tärkein lähdeteos on Ronald L. Grahamin, Bruce L. Rotschildin ja Joel H. Spencerin kirja Ramsey Theory.
Ramseyn teoriaa voidaan havainnollistaa esimerkiksi verkkoteorian avulla, joka on otettu lähtökohdaksi myös tässä tutkielmassa. Ennen Ramseyn teoriaa esitellään verkkoteorian peruskäsitteitä, sekä havainnollistetaan niitä esimerkein. Tämän lisäksi tutustutaan kyyhkyslakkaperiaatteeseen, joka on hyvin hyödyllinen monessa Ramseyn teoriaan liittyvässä ongelmassa. Tutkielmassa käsitellään myös verkkojen värityksiä, jotka ovat keskeinen osa Ramseyn teoriaa.
Ramseyn teoriaa esitellään erilaisten esimerkkien avulla ja määritellään Ramseyn teorian kannalta olennaisia käsitteitä ja käydään läpi muutamia hyödyllisiä apulauseita. Tutkielman merkittävimpänä osana todistetaan Ramseyn lause eri värityksille ja osajoukoille, sekä esitellään tähän mennessä löydettyjä Ramseyn lukuja ja arvioita esimerkkien avulla. Esimerkeissä hyödynnetään erityisesti Ramseyn lauseen todistuksissa saatuja tuloksia etsittäessä ylärajoja Ramseyn luvuille. Koko tutkielman tärkein lähdeteos on Ronald L. Grahamin, Bruce L. Rotschildin ja Joel H. Spencerin kirja Ramsey Theory.