Yleiset persistenssimodulit ja lomitusmetriikat

Abstract

Tutkielmassa tarkastellaan persistenssimoduleita ja niiden välisiä lomitusmetriikoita. Erityisesti keskitytään lomitusmetriikoiden indusoimiseen ja lomitusmetriikoiden yleistämiseen. Aluksi esitellään tarvittavat esitiedot kategoriateoriasta. Yleisen teorian motivaatioksi käsitellään ensin R-persistenssimodulien teoriaa ja esitetään tämän teorian keskeisimmät tulokset persistenssimodulien hajotelmista ja lomitusmetriikan stabiiliudesta. Yleiset persistenssimodulit määritellään funktoreiksi esijärjestetyltä joukolta johonkin kiinnitettyyn kategoriaan.

Esitietojen jälkeen tarkastellaan yleisten persistenssimodulien välisiä lomituksia. Tämän jälkeen esitellään kaksi tapaa indusoida lomitusmetriikoita persistenssimodulien välille, superlineaarinen perhe ja sublineaarinen projektio. Näiden välille määritellään liittorelaatio, joka on yleistys funktorien liitosta, ja osoitetaan, että liittorelaation toteuttava pari määrää saman lomitusmetriikan. Lisäksi osoitetaan, että liittorelaatio määrää parista toisen aina isomorfiaa vaille yksikäsitteisesti.

Superlineaarisen projektion ja sublineaarisen perheen todetaan vastaavan täysin lax ja oplax monoidaalisia funktoreita ja tutkielman loppu käsittelee edeltävän teorian yleistämistä symmetrisille monoidaalisille kategorioille. Tätä varten esitetään ensin tarvittavaa kategoriateoriaa liittofunktoreista ja monoidaalisista kategorioista. Lomitusetäisyys yleistetään lomitusjoukoiksi, jonka jälkeen osoitetaan, että liittorelaation toteuttava pari määrää edelleen samat lomitusjoukot, mutta liittorelaatio ei enää määrää parista toista yksikäsitteisesti.