Differentiaaliyhtälösysteemit sekä niiden tasapainopisteiden stabiilisuus

Abstract

Tutkielmassa käsitellään differentiaaliyhtälösysteemejä. Tutkielmassa perehdytään tutkimaan lineaarista differentiaaliyhtälösysteemiä. Ensin määritellään systeemin ominaisarvot ja ominaisvektorit. Tämän jälkeen siirrytään määrittelemään systeemin tasapainopisteet. Tutkielmassa käsitellään vain eristettyjä tasapainopisteitä. Lineaarisella systeemillä on vain yksi eristetty tasapainopiste. Tämä tasapainopiste on origossa. Epälineaarisella systeemillä voi olla eristettyjä tasapainopisteitä nollasta äärettömään. Tasapainopiste voidaan luokitella sen perusteella miten systeemin ratkaisut käyttäytyvät sen läheisyydessä. Systeemin tasapainopisteet määritellään kolmeen eri luokkaan. Luokat ovat stabiili, epästabiili sekä asymptoottisesti stabiili. Tutkielman lopuksi keskitytään tarkastelemaan tietyt ehdot täyttäviä epälineaarisia differentiaaliyhtälösysteemeitä. Näiden systeemien analyyttisen ratkaisun löytyminen ei ole taattua mutta käyttäen hyväksi systeemin tasapainopisteitä ja linearisointia voidaan saada tietoa ratkaisuiden käyttäytymisestä tasapainopisteen läheisyydessä ratkaisematta systeemiä.