Johdatus Lagrangen ja Hamiltonin mekaniikkoihin

Abstract

Suomalaisissa teknillisissä yliopistoissa differentiaaligeometrian opetus on suhteellisen vähäistä, ellei suorastaan olematonta. Se totuus, että differentiaaligeometrian merkittävimpiä käytännön sovelluksia on yleinen suhteellisuusteoria, antaa suuntaviittaa siitä, että kyseisellä matematiikan osa-alueella voi olla jotain tekemistä nykypäivän modernin teknillisen fysiikan kanssa. Differentiaaligeometria on kieli, jolla fysiikan teoriat voidaan pukea matemaattisesti yleispätevään muotoon. Jos fysiikan ilmiötä ei voida pukea tälle kielelle, on se oire siitä, että ilmiötä ei ymmärretä tarpeeksi hyvin.

Tällä diplomityöllä on kolme tavoitetta. Ensimmäinen on tarjota työkalut tämän edellä mainitun kielen ymmärtämiseen. Toisena tavoitteena on esitellä fysikaalisen luonnon matemaattinen rakenne kerros kerrokselta, differentiaaligeometrian kieltä hyväksi käyttäen. Kolmas on soveltaa opittuja työkaluja klassisen mekaniikan teorioihin.

Newtonilaista mekaniikkaa pidetään klassisen mekaniikan synonyymina, mutta on olemassa myös kaksi muuta mekaniikan muotoilua, jotka ovat newtonilaista lähestymistapaa perustavanlaatuisempia. Nämä ovat nimeltään Lagrangen ja Hamiltonin mekaniikat, joita kutsutaan myös mekaniikan pääformalismeiksi. Jotta näitä kahta mekaniikan lähestymistapaa voitaisiin ymmärtää syvällisesti, on niitä tarkasteltava geometrisesti. Varsinkin haastavimmissa mekaniikan sovelluksissa Lagrangen ja Hamiltonin lähestymistavat ovat välttämättömyyksiä.

Differentiaaligeometrian läheinen tuntemus antaa syvempää näkökulmaa fysikaalisten ilmiöiden ymmärtämiseen. Tämä diplomityö voisi toimia aiheesta kiinnostuneen yliopisto-opiskelijan ensimmäisenä differentiaaligeometrian teoksena.