Ääretönulotteiset matriisit jonoavaruuksissa

Abstract

Tässä diplomityössä käsitellään ääretönulotteisia matriiseja ja niiden käyttöä matematiikassa. Ääretönulotteisella matriisilla tarkoitetaan matriisia, jolla on äärettömän monta pysty- ja vaakariviä. Toisaalta myös jono voidaan esittää ääretönulotteisena vektorina, jolloin jonojen muunnoksia voidaan esittää matriisilaskennasta tutuin keinoin. Tällöin on tarpeen tarkastella jonojen suppenemista. Ääretönulotteisten matriisien käyttö eroaa suuresti äärellisulotteisesta tapauksesta. Työssä tutustutaan ensin jonoihin, jotka tässä työssä ymmärretään ääretönulotteisina vektoreina ja tutkitaan niiden yleisiä ominaisuuksia. Toisena tutustutaan äärellisulotteisiin matriiseihin sellaisenaan ja katsotaan mitä ominaisuuksia tällaisilla matriiseilla on. Työn loppupuolella tutkitaan ääretönulotteisten matriisien toimimista lineaarisina ja rajoitettuina operaattoreina, joka onkin suurin äärellisulotteisten matriisien sovelluskohde. Lisäksi tutkitaan ääretönulotteisen matriisin spektriä ja resolventtjoukkoa. Tässä työssä havaitaan, että yleistä teoriaa ei ole olemassa äärellisulotteisille matriiseille ja työ keskittyykin paljolti esimerkkeihin. Kuitenkin joitain lauseita, kuten Silverman-Toeplitzin lause ja Kojima-Schurin lause, on esitetty ja todistettu tässä diplomityössä. Äärellisulotteisten matriisien käsittely edellyttää funktionaalianalyysin tietojen hallintaa. Työssä on tukeuduttu suurelta osin R. G. Cooken kirjaan Infinite Matrices & Sequence Spaces ja I. J. Maddoxin kirjaan Elements of Functional Analysis. Kirjoissa olevia lauseita ja tuloksia on pyritty laajentamaan ja selventämään vaikeita kohtia. Työn visiona oli esittää ääretönulotteisten matriisien ominaisuudet ja käyttö yleistajuisella tavalla ja osoittaa niiden käyttökelpoisuus matematiikan eri haaroissa.