Lineaarikuvauksista ja niiden geometrisesta tulkinnasta

Abstract

Olkoot V ja W vektoriavaruuksia. Tällöin kuvausta T : V -> W sanotaan lineaariseksi, jos(a) T(u + v) = T(u) + T(v),(b) T(cu) = cT(u)aina, kun u, v ovat vektoriavaruuden V alkioita ja c on joukon F alkio. Tämä tutkielma käsittelee näitä lineaarikuvauksia. Tutkielmassa esitetään lineaarikuvauksille erilaisia ominaisuuksia ja tutkitaan niiden matriiseja. Tutkielma seuraa kirjan Elementary linear algebra ([1, s. 304-334]) lukuja 7.1 - 7.3. Lineaarikuvauksilla on monia sovelluksia muun muassa geometrisella puolella. Voidaan tutkia lineaarikuvaustenvaikutuksia geometrisesti esimerkiksi niin kutsuttujen elementaarimatriisien avulla. Tämän tutkielman luvussa 3.2 perehdytään näihin geometrisiin kuvauksiintasossa R².

Tämän tutkielman lopussa tutkitaan niin kutsuttuja kannanmuutosmatriiseja, joiden avulla tutkitaan vektoriavaruuden V kahden kannan suhteen muodostettujen koordinaattivektoreiden suhdetta. Lopuksi saadaan tulos, jonka mukaan lineaarioperaattorin T : V -> V matriisi A kannan B suhteen on similaarinen kuvauksen T kannan B' suhteen muodostetun matriisin A' kanssa, kun B ja B' ovat vektoriavaruuden V kaksi kantaa.

Asiasanat:lineaarikuvaus, kannanmuutosmatriisi