Reaaliset jakoalgebrat
Pekkola, Sami (2024)
2024
Matematiikan maisteriohjelma - Master´s Programme in Mathematics
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2024-12-11
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-2024112010353
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-2024112010353
Tiivistelmä
Tämä pro gradu -tutkielma käsittelee reaalisten jakoalgebrojen rakennetta ja todistaa Frobeniuksen lauseen. Yleisellä tasolla tutkitaan algebrojen laskutoimituksia, alkioita ja kantaa. Lisäksi tutustutaan algebrojen välisiin homomorfismeihin ja osoitetaan niiden avulla valittujen algebrojen isomorfisuuksia.
Algebroja voidaan ryhmitellä niiden ominaisuuksien perusteella. Tällaisia ominaisuuksia ovat vaihdannaisuuden ja liitännäisyyden lisäksi muun muassa algebrojen alkioiden käänteisalkiot, involuutiot ja normit. Työssä määritellään näiden perusteella jakoalgebrat, ∗-algebrat ja normialgebrat.
Lähemmin tarkasteltavia algebroja ovat reaalilukujen, kompleksilukujen, kvaternioiden ja oktonioiden algebrat. Kvaternioiden algebra koostuu neliulotteisista ja oktonioiden algebra kahdeksanulotteisista hyperkompleksiluvuista. Tutkielman edetessä selviää, miksi kolmiulotteisia hyperkompleksilukuja ei ole olemassa.
Algebroja voidaan konstruoida toisista algebroista käyttämällä prosessia nimeltä Cayley-Dicksonin laajennus. Havaitaan, että Cayley-Dicksonin konstruktiossa jokaisen muodostuvan algebran dimensio kaksinkertaistuu ja ne menettävät kasvavissa määrin ominaisuuksia, joita ollaan totuttu odottamaan reaalilukujen algebralta. Toisaalta tietyt normin ominaisuudet säilyvät läpi iteratiivisen prosessin.
Kun konstruointi aloitetaan reaaliluvuista, muodostuvat algebrat ovat isomorfisia kompleksilukujen, kvaternioiden ja oktonioiden kanssa. Tutkielman lopussa todistettava Frobeniuksen lause osoittaakin, että on olemassa isomorfismiin asti vain kolme äärellisulotteista liitännäistä jakoalgebraa, reaalilukujen, kompleksilukujen ja kvaternioiden algebrat. Oktonioiden algebra ei ole enää liitännäinen, mutta sillä on heikompi ominaisuus, alternatiivisuus.
Algebroja voidaan ryhmitellä niiden ominaisuuksien perusteella. Tällaisia ominaisuuksia ovat vaihdannaisuuden ja liitännäisyyden lisäksi muun muassa algebrojen alkioiden käänteisalkiot, involuutiot ja normit. Työssä määritellään näiden perusteella jakoalgebrat, ∗-algebrat ja normialgebrat.
Lähemmin tarkasteltavia algebroja ovat reaalilukujen, kompleksilukujen, kvaternioiden ja oktonioiden algebrat. Kvaternioiden algebra koostuu neliulotteisista ja oktonioiden algebra kahdeksanulotteisista hyperkompleksiluvuista. Tutkielman edetessä selviää, miksi kolmiulotteisia hyperkompleksilukuja ei ole olemassa.
Algebroja voidaan konstruoida toisista algebroista käyttämällä prosessia nimeltä Cayley-Dicksonin laajennus. Havaitaan, että Cayley-Dicksonin konstruktiossa jokaisen muodostuvan algebran dimensio kaksinkertaistuu ja ne menettävät kasvavissa määrin ominaisuuksia, joita ollaan totuttu odottamaan reaalilukujen algebralta. Toisaalta tietyt normin ominaisuudet säilyvät läpi iteratiivisen prosessin.
Kun konstruointi aloitetaan reaaliluvuista, muodostuvat algebrat ovat isomorfisia kompleksilukujen, kvaternioiden ja oktonioiden kanssa. Tutkielman lopussa todistettava Frobeniuksen lause osoittaakin, että on olemassa isomorfismiin asti vain kolme äärellisulotteista liitännäistä jakoalgebraa, reaalilukujen, kompleksilukujen ja kvaternioiden algebrat. Oktonioiden algebra ei ole enää liitännäinen, mutta sillä on heikompi ominaisuus, alternatiivisuus.