Polynomien jaollisuus

Abstract

Tässä tutkielmassa tutkitaan polynomien jaollisuutta ja hieman polynomien jakoal- goritmia. Ensiksi tutustutaan jaollisuuden ymmärtämistä varten vaadittaviin esitietoi- hin, jonka jälkeen käsitellään polynomirenkaita ja lopuksi polynomien jaollisuutta. Aiheita käsitellään pääasiassa lauseiden ja määritelmien avulla, mutta tärkeimpien lauseiden todistukset on myös esitetty ja niistä on annettu esimerkit. Luvussa 2 käsitellään polynomien jaollisuutta varten tarvittavia esitietoja. Tässä tutkielmassa käsitellään muutamia renkaisiin liittyviä oleellisia lauseita ja määri- telmiä, jotka sisältävät renkaiden ominaisuuksia. Lopuksi käsitellään myös lyhyesti kokonaisalue ja faktoriaalinen kokonaisalue sekä määritellään jaottomien alkioiden edustajisto. Luvussa 3 käsitellään polynomien jaollisuutta. Ensiksi käsitellään polynomi ja sen ominaisuuksia, jonka jälkeen tutustutaan polynomirenkaisiin. Alaluvussa 3.3 ale- taan käsittelemään tarkemmin polynomien jaollisuutta määrittelemällä polynomien jakoalgoritmi ja siitä seuraavia sovelluksia. Luvussa käsitellään myös Eukleideen algoritmi polynomeille ja esitetään algoritmin käyttöä esimerkin avulla. Seuraavassa alaluvussa 3.4 todistetaan aritmetiikan peruslausetta vastaava tulos polynomeille. Lisäksi tutustutaan polynomien jaottomuuteen ja siihen, miten voidaan selvittää, onko polynomi jaollinen vai jaoton jonkin kunnan yli muodostetun polyno- mirenkaan alkiona. Luvussa käsitellään polynomien tekijöihin jakoa eri tavoin, sekä sen merkitystä polynomin jaollisuudelle. Monissa luvun lauseissa ja määritelmissä käsitellään primitiivisiä polynomeja, joten niistä on esitetty myös useampi esimerk- ki tutkielmassa. Luvussa käydään myös läpi Gaussin lemma ja Eisensteinin kriteeri jaottomuudelle sekä esitetään todistus Gaussin lemmalle. Lopussa käydään läpi vielä haastavampi esimerkki polynomien tekijöihin jakamisesta kahdessa eri renkaassa.