Vektorianalyysin käytännön sovelluksia

Abstract

Vektorianalyysia käytetään matemaattisena työkaluna fysikaalisten ilmiöiden mallintamiseen erityisesti sähkömagnetismin ja virtausdynamiikan alueella. Tässä työssä esitellään ja tarkastellaan vektorianalyysin käytännön sovelluskohteita fysiikassa. Työn tavoitteena on tarjota lukijalle perustavanlaatuinen ajatus vektorianalyysin käsitteiden hyödyntämisestä fysiikan matemaattisessa mallinnuksessa ja vahvistaa ajatusta matematiikasta työkaluna fysiikan teorialle säilyttäen kuitenkin eron näiden kahden välillä.

Skalaarifunktioiden lisäksi on olemassa vektoriarvoisia funktioita. Vektoriarvoisia funktioita eli vektorikenttiä voidaan hyödyntää, kun halutaan mallintaa vektorisuureita. Näitä ovat esimerkiksi sähkö- ja magneettikentät sekä virtausnopeus. Vektorikentille määritellään erilaisia differentiaalioperaattoreita, kuten divergenssi ja roottori. Divergenssi kuvaa kentän lähteisyyttä ja roottori pyörteisyyttä. Kun halutaan kuvata fysikaalisen vektorikentän ominaisuuksia, voidaan käyttää näitä differentiaalioperaattoreita. Lisäksi usean ulottuvuuden differentiaaliyhtälöitä voidaan yksinkertaistaa operaattorien avulla. Työssä määritellään vektorianalyysille keskeiset matemaattiset käsitteet ja tarkastellaan näiden käyttöä fysiikan lakien matemaattisissa esityksissä. Fysiikan alueen tarkastelu rajataan sähkömagnetismiin ja fluidien virtausdynamiikkaan.

Sähkömagnetismin osalta esitellään kaikki neljä Maxwellin yhtälöä eli Gaussin laki sähkökentille, Gaussin laki magneettikentille, Faradayn laki ja Ampere-Maxwellin laki. Työssä nämä lait muutetaan integraalimuodosta yksinkertaisempaan differentiaalimuotoon käyttäen differentiaalioperaattoreita ja vektorianalyysin merkittäviä matemaattisia lauseita.

Virtausdynamiikkaa esitellään Navier-Stokesin yhtälöiden kautta. Viskoosin fluidin virtausta kolmessa ulottuvuudessa kuvaavat kolme differentiaaliyhtälöä muokataan vektoreiden, gradientin ja Laplacen operaattorin avulla yhdeksi yhtälöksi. Lisäksi Navier-Stokesin yhtälöistä tuodaan esiin myös matemaattinen näkökulma miljoonan dollarin Millennium-ongelman kautta, jota varten täytyy todistaa, että yhtälöille löytyy aina sileä ratkaisu.

Lopuksi työssä käsitellään virtauksiin liittyvää ilmakehän dynamiikkaa ja sen esittämistä sääkartoissa. Ilmakehän ilmiöitä havainnollistetaan yksinkertaistetun painefunktion ja ilmavirtauksen nopeuskentän avulla. Lisäksi tarkastellaan, minkälaisia merkintöjä näiden avulla sääkarttoihin voidaan piirtää.