Diskreettiä Morse-teoriaa
Ylä-Mikkola, Oona (2023)
2023
Matematiikan maisteriohjelma - Master´s Programme in Mathematics
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2023-12-07
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202311149629
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202311149629
Tiivistelmä
Tämän tutkielman tarkoituksena on esitellä diskreettiä Morse-teoriaa, joka on kombinatorinen sovitus klassisesta Morse-teoriasta. Diskreetin Morse-teorian tärkeimmät lauseet esitetään parhaiten CW-kompleksien avulla, joten tämän tutkielman teoria pohjautuu näihin komplekseihin. Jotta päästään käsiksi diskreettiin Morse-teoriaan, käsitellään ensin liitosavaruuksia ja esitellään CW-kompleksit sekä romahtamisen käsite. Lisäksi käydään läpi homologiaa CW-komplekseille, jonka yhteydessä määritellään muun muassa solumainen ketjukompleksi. Tutkielman alussa käsitellään vielä tensorituloa sekä esitellään Eulerin karakteristika ja Bettin luku.
Diskreetin Morse-teorian käsittely aloitetaan esittelemällä diskreetti Morse-funktio sekä kriittinen solu, joille todistetaan tärkeimpiä tuloksia. Diskreetteihin Morse-funktioihin liittyen esitellään gradienttivektorikenttä sekä Hasse-kaavio. Yksi diskreetin Morse-teorian keskeisimmistä lauseista on romahduslause, joka esitetään ja todistetaan Hasse-kaavioiden jälkeen. Lisäksi esitetään vielä Morse-epäyhtälöt ja käsitellään diskreetin Morse-funktion kehittämistä. Yksi Morse-teorian tärkeimmistä ongelmista on nimittäin löytää Morse-funktio, jonka kriittisten solujen määrä on pienin mahdollinen. Tällaisen funktion löytämiseksi esitetään lause koskien kriittisten solujen poistamista.
Tutkielman loppupuolella käsitellään uudestaan gradienttivektorikenttiä ja määritellään diskreetti gradienttivirtaus. Lisäksi esitellään Morse-kompleksin käsite ja todistetaan, että CW-kompleksiin K liittyvän Morse-kompleksin C* homologia on sama kuin CW-kompleksin K homologia. Viimeisenä esitellään välttelevyys, jossa on kyse Morse-teorian soveltamisesta tietojenkäsittelyyn.
Diskreetin Morse-teorian käsittely aloitetaan esittelemällä diskreetti Morse-funktio sekä kriittinen solu, joille todistetaan tärkeimpiä tuloksia. Diskreetteihin Morse-funktioihin liittyen esitellään gradienttivektorikenttä sekä Hasse-kaavio. Yksi diskreetin Morse-teorian keskeisimmistä lauseista on romahduslause, joka esitetään ja todistetaan Hasse-kaavioiden jälkeen. Lisäksi esitetään vielä Morse-epäyhtälöt ja käsitellään diskreetin Morse-funktion kehittämistä. Yksi Morse-teorian tärkeimmistä ongelmista on nimittäin löytää Morse-funktio, jonka kriittisten solujen määrä on pienin mahdollinen. Tällaisen funktion löytämiseksi esitetään lause koskien kriittisten solujen poistamista.
Tutkielman loppupuolella käsitellään uudestaan gradienttivektorikenttiä ja määritellään diskreetti gradienttivirtaus. Lisäksi esitellään Morse-kompleksin käsite ja todistetaan, että CW-kompleksiin K liittyvän Morse-kompleksin C* homologia on sama kuin CW-kompleksin K homologia. Viimeisenä esitellään välttelevyys, jossa on kyse Morse-teorian soveltamisesta tietojenkäsittelyyn.