Persistentin homologian Mayer-Vietoris-spektraalijonot
Anttila, Riku (2023)
2023
Matematiikan maisteriohjelma - Master´s Programme in Mathematics
Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta - Faculty of Information Technology and Communication Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2023-11-13
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202310249031
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202310249031
Tiivistelmä
Tämän pro gradu -tutkielman tavoitteena on todistaa persistentin homologian Mayer-Vietoris-spektraalijonojen suppenemislause ja käsitellä peristenssimodulien laskennallisia menetelmiä sen verran, että kesyjen persistenssimodulien spektraalijonoja on mahdollista laskea käytännössä. Tutkielman alussa käsittelemme homologista algebraa mielivaltaisessa Abelin kategoriassa. Esittelemme spektraalijonot ja kaksoiskompleksit sekä käymme läpi näiden perusominaisuuksia.
Tutkielman toinen luku käsittelee yleisesti kesyjen persistenssimodulien teoriaa. Erityisesti tutustumme persistenssivektoreihin ja esittelemme, kuinka persistenssivektorien avulla on mahdollista kehittää perinteisiä lineaarialgebran työkaluja persistenssimoduleille.
Kolmannessa luvussa perehdymme persistenssimodulien laskennallisiin menetelmiin. Esittelemme algoritmit persistenssimodulien välisen morfismin kuvan ja ytimen sekä persistenssimodulien tekijämodulin viivakoodikantojen laskemiseen. Lisäksi osoitamme näiden algoritmien toimivuudet. Neljännessä luvussa tutustumme laajennusongelmaan, joka nousee luonnollisesti persistenssimodulien spektraalijonoista. Erityisesti esitämme laajennusongelman ratkaisun.
Viimeisessä luvussa siirrymme simpleksisen ja persistentin homologian pariin. Määrittelemme Mayer-Vietoris-spektraalijonot ja osoitamme näiden suppenemislauseet. Käsittelemme lyhyesti totaalipersistenssiä, ja lopuksi pohdimme Mayer-Vietoris-spektraalijonojen mahdollisia sovelluksia.
Tutkielman toinen luku käsittelee yleisesti kesyjen persistenssimodulien teoriaa. Erityisesti tutustumme persistenssivektoreihin ja esittelemme, kuinka persistenssivektorien avulla on mahdollista kehittää perinteisiä lineaarialgebran työkaluja persistenssimoduleille.
Kolmannessa luvussa perehdymme persistenssimodulien laskennallisiin menetelmiin. Esittelemme algoritmit persistenssimodulien välisen morfismin kuvan ja ytimen sekä persistenssimodulien tekijämodulin viivakoodikantojen laskemiseen. Lisäksi osoitamme näiden algoritmien toimivuudet. Neljännessä luvussa tutustumme laajennusongelmaan, joka nousee luonnollisesti persistenssimodulien spektraalijonoista. Erityisesti esitämme laajennusongelman ratkaisun.
Viimeisessä luvussa siirrymme simpleksisen ja persistentin homologian pariin. Määrittelemme Mayer-Vietoris-spektraalijonot ja osoitamme näiden suppenemislauseet. Käsittelemme lyhyesti totaalipersistenssiä, ja lopuksi pohdimme Mayer-Vietoris-spektraalijonojen mahdollisia sovelluksia.