Differentiaaliyhtälöryhmien ratkaiseminen
Ukkola, Justus (2023)
2023
Tekniikan ja luonnontieteiden kandidaattiohjelma - Bachelor's Programme in Engineering and Natural Sciences
Tekniikan ja luonnontieteiden tiedekunta - Faculty of Engineering and Natural Sciences
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Hyväksymispäivämäärä
2023-02-28
Julkaisun pysyvä osoite on
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202302202521
https://urn.fi/URN:NBN:fi:tuni-202302202521
Tiivistelmä
Kirjoitelmassa keskitytään kolmeen eri differentiaaliyhtälöryhmien ratkaisumenetelmään, joita ovat eliminointimenetelmä, Cramerin sääntö ja ominaisarvomenetelmä. Eliminointimenetelmä on yhtälöpareista tuttu menetelmä, jota sovelletaan tässä työssä differentiaaliyhtälöpareihin. Eliminointimenetelmää varten käsitellään esitiedoissa operaattorit ja niiden vaihdannaisuus. Operaattorit ovat kirjoitelmassa keskeisessä asemassa ja niitä hyödynnetään jatkuvasti.
Cramerin säännön avulla voidaan ratkaista matriisimuodossa olevia differentiaaliyhtälöpareja determinantin avulla. Determinanttien laskemisen takia menetelmä ei ole tehokas differentiaaliyhtälöryhmien ratkaisemiseen, mutta soveltuu differentiaaliyhtälöpareille. Cramerin sääntöä käyttäen saadaan johdettua differentiaaliyhtälöparille eliminaatiomenetelmästä saatua tulosta vastaava tulos.
Kirjoitelma käsittelee ominaisarvo-ongelmaa esimerkin kautta ja hyödyntää ominaisarvomenetelmää myöhemmin oskillaattorin vapaan värähtelyn tutkimiseen. Ominaisarvo-ongelmassa matriisimuotoisia differentiaaliyhtälöryhmiä ratkaistaan hyödyntäen ominaisarvoja ja ominaisvektoreita.
Kaksimassainen oskillaattori on systeemi, jossa on kaksi kappaletta, jotka ovat kiinni toisissaan jousilla. Kappaleet ovat tämän lisäksi kiinnitetty systeemin laitoihin jousilla. Newtonin toista lakia sekä Hooken lakia hyödyntäen saadaan oskillaattorille johdettua värähtelyyn liittyvät differentiaaliyhtälöt. Pakotetun värähtelyn, eli värähtelyn, jossa kappaleeseen vaikuttaa koko ajan vakiovoima, ratkaisu saadaan Cramerin sääntöä hyödyntäen. Epähomogeenisten differentiaaliyhtälöryhmien ratkaisut haetaan määräämättömien kertoimien menetelmällä. Vapaan värähtelyn, eli värähtelyn, jossa kappaleeseen ei vaikuta voimia, ratkaisu saadaan ominaisarvomenetelmää hyödyntäen. Vapaan värähtelyn differentiaaliyhtälöpari on pakotettua värähtelyä vastaava, mutta homogeeninen differentiaaliyhtälöpari.
Cramerin säännön avulla voidaan ratkaista matriisimuodossa olevia differentiaaliyhtälöpareja determinantin avulla. Determinanttien laskemisen takia menetelmä ei ole tehokas differentiaaliyhtälöryhmien ratkaisemiseen, mutta soveltuu differentiaaliyhtälöpareille. Cramerin sääntöä käyttäen saadaan johdettua differentiaaliyhtälöparille eliminaatiomenetelmästä saatua tulosta vastaava tulos.
Kirjoitelma käsittelee ominaisarvo-ongelmaa esimerkin kautta ja hyödyntää ominaisarvomenetelmää myöhemmin oskillaattorin vapaan värähtelyn tutkimiseen. Ominaisarvo-ongelmassa matriisimuotoisia differentiaaliyhtälöryhmiä ratkaistaan hyödyntäen ominaisarvoja ja ominaisvektoreita.
Kaksimassainen oskillaattori on systeemi, jossa on kaksi kappaletta, jotka ovat kiinni toisissaan jousilla. Kappaleet ovat tämän lisäksi kiinnitetty systeemin laitoihin jousilla. Newtonin toista lakia sekä Hooken lakia hyödyntäen saadaan oskillaattorille johdettua värähtelyyn liittyvät differentiaaliyhtälöt. Pakotetun värähtelyn, eli värähtelyn, jossa kappaleeseen vaikuttaa koko ajan vakiovoima, ratkaisu saadaan Cramerin sääntöä hyödyntäen. Epähomogeenisten differentiaaliyhtälöryhmien ratkaisut haetaan määräämättömien kertoimien menetelmällä. Vapaan värähtelyn, eli värähtelyn, jossa kappaleeseen ei vaikuta voimia, ratkaisu saadaan ominaisarvomenetelmää hyödyntäen. Vapaan värähtelyn differentiaaliyhtälöpari on pakotettua värähtelyä vastaava, mutta homogeeninen differentiaaliyhtälöpari.
Kokoelmat
- Kandidaatintutkielmat [10837]