Markovin ketjut

Abstract

Markovin ketjut (engl. Markov Chains) ovat 1900-luvun alkupuolella kehitettyjä stokastisia prosesseja, joissa uusi tila riippuu vain sitä edeltävästä tilasta. Ketjut ovat nimetty niiden kehittäjän, Andrey Markovin, mukaan, ja niitä sovelletaan nykyisin monilla eri tieteenaloilla esimerkiksi lääketieteessä ja kauppatieteissä. Suurin syy, miksi Markovin ketjuja käytetään eri tieteenaloilla, on niiden todennäköisyyslaskennallinen tausta. Markovin ketjujen avulla pystytään ennustamaan sekä jatkuvien että diskreettien stokastisten prosessien satunnaiskulkua, ja näin ollen tuottamaan arvioita ketjujen tulevista tiloista eri ajanhetkillä. Markovin ketjuista on olemassa melko vähän suomenkielisiä tieteellisiä tekstejä, ja siksi tämän tutkielman tarkoituksena onkin tuottaa lyhyt katsaus diskreettiaikaisten Markovin ketjujen teoriaan, ja selittää lukijalleen esimerkkien avulla, miten ketjuja voidaan hyödyntää käytännössä.

Työ on jaettu kahteen osaan. Ensimmäisessä osassa käsitellään Markovin ketjujen todennäköisyyslaskennallista taustaa ja esitellään kaikki määritelmät ja lauseet, joita tarvitaan Markovin ketjujen ymmärtämiseen. Tässä osassa tutkielmaa selitetään myös, mitä stokastiset prosessit ovat ja esitellään niihin liittyvät määritelmät, jotka ovat oleellisia Markovin ketjujen ymmärtämiseen. Tutkielman toinen osa käsittelee diskreettiaikaisia Markovin ketjuja. Siinä esitellään Markovin ketjujen määritelmiä, kuten Markovin ominaisuus sekä eräitä Markovin ketjujen ominaisuuksia, joita myöhemmin havainnollistetaan erilaisin esimerkein. Tutkielman toisessa osassa esitetään myös Markovin ketjujen siirtymämatriisiesitys sekä graafinen esitys, joiden tarkoitus on havainnollistaa Markovin ketjuja visuaalisessa muodossa.

Tutkielma päättyy Markovin ketjujen sovelluksiin, joissa kootaan yhteen kaikki tutkielmassa esille nousseet lauseet ja ominaisuudet, ja näytetään, kuinka ne käytännössä vaikuttavat ketjuihin. Tämä onkin yksi tutkielman tärkeimmistä osista, sillä esimerkkien avulla lukijan on helppo ymmärtää, kuinka Markovin ketjuja voidaan käytännössä hyödyntää.